Глава 3 математика и естествознание. Основные концепции математики

Уже с первых шагов изучения естественных наук мы сталкиваемся с тем, что основные утверждения физики, химии, биологии, астрономии сформулированы и доказываются с использованием математики. Это было осознано уже в эпоху становления научного естествознания, когда Г. Галилей заметил, что «математика – это язык науки». В последующем эта формула повторялась многократно, подчеркивая различные аспекты взаимоотношения математики и естественных наук. И. Кант, крупнейший философ и натурфилософ XVIII в., утверждал: «Учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена в ней математика». Ему вторил уже в начале XX в. великий физик, один из создателей современной физической науки А. Эйнштейн: «Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математических мыслимых элементов».

Весь предшествующий опыт убеждает нас не только в этом, но и в том, что создание в лоне математического знания новых концепций, новых подходов и формализмов позволяло в последующем делать революционные прорывы в естествознании.

Что же представляет из себя математика? Почему она «столь непостижимо эффективна», как выражаются крупнейшие ученые-естествоиспытатели? Математика – это действительно язык науки или в ней заложены значительно большие функции? Ответить на эти вопросы возможно, проанализировав исторический путь развития математического знания и рассмотрев ее современное состояние.

Исторический анализ показывает, как постепенно усложняется мир математических концепций и математического языка. Вместе с тем видно и то, что «обслуживающая роль» математики складывается как одно из ее приложений, наряду с тем, что фундаментальные представления в математике появляются и развиваются практически автономно, независимо от внешних влияний и воздействий со стороны других наук. В математических концепциях отражается свой слой структур объективного и субъективного мира, который не затрагивается в естественных науках, базирующихся во многом на опыте.

Анализируя развитие математики, можно выделить смену по меньшей мере трех поколений математических концепций: концепции элементарной математики, концепции классической или высшей математики (математика переменных величин), концепции современной математики (математических структур). Соответственно это отражается в определениях математики, отталкивающихся от математических концепций того или иного периода. Если элементарная математика – это «наука о числах и геометрических фигурах», а классическая – «о количественных отношениях и пространственных формах» (Ф. Энгельс), то современная – «учение об общих формах, задаваемых фундаментальными структурами: алгебраическими, порядка и топологическими».

Концепции элементарной математики оформляются к V-III вв. до н.э., когда на основе понятий числа и геометрической фигуры, сочетаемых с дедуктивным и аксиоматическим методами (Архимед, Аполлоний, Эвклид), появились собственно концептуальные математические построения геометрии и арифметики и утвердился метод математического выведения (доказательства).

Что касается связей математических концепций с естественнонаучным познанием, то в рамках античной натурфилософии они были органичны. Как отмечает выдающийся математик современности М. Клайн: «По-видимому, нам остается лишь констатировать, что у греков, начиная с VI в. до н.э., сложилось определенное миропонимание, сущность которого сводилась к следующему. Природа устроена рационально, а все явления протекают по точному и неизменному плану, который в конечном счете является математическим. Человеческий разум всесилен, и если эту могучую силу приложить к изучению природы, то лежащий в основе мироздания математический план удастся раскрыть и познать»¹.

Следует подчеркнуть, что такого рода подход воспроизводился и в последующие эпохи, но уже на новом уровне абстрагирования.

Примером эвристичного приложения математических концепций и естественнонаучным объектом может выступать пифагорейская идея сведения музыкальных интервалов к простым соотношениям между числами. Эта идея базировалась на том факте, что высота звука, издаваемого колеблющейся струной, зависит от ее длины, и что гармонические созвучия издают струны, длины которых относятся между собой, как некоторые целые числа. Поскольку движения планет пифагорейцы также сводили к числовым соотношениям, то вполне закономерно они пришли к своеобразной трансформации «теории музыкальной гармонии» в ее астрономический эквивалент, что и дает представление о «музыке небесных сфер».

Так утвердилась и со временем укрепилась пифагорейская идея о том, что природа устроена на математических принципах и что числовые соотношения являются инструментом познания порядка в природе. К аналогичным утверждениям пришли виднейшие представители атомистической натурфилософии (Левкипп, Демокрит), убежденные, что «первичные качества» чувственно не воспринимаемых атомов могут быть выражены на языке математики.

Следует заметить, что пифагорейской школе принадлежит первая попытка свести геометрию и алгебру того времени к арифметике. Однако они не смогли, как и атомисты, преодолеть проблему несоизмеримых отрезков. В итоге стали культивировать геометризованный подход к математике, что препятствовало развитию алгебраического подхода. Нерешенной проблемой оставалась идея актуальной бесконечности, которая всячески изгонялась из работ Евклида и его последователей (Архимед, Аполлоний). Поэтому формулы для объема шара и конуса, площади круга и т.д. излагались без применения предельного перехода, без разложения на бесконечно малые части.

Сдерживающее воздействие на развитие античной математики оказывало то, что в ней не было отрицательных чисел, нуля, иррациональных чисел и буквенного исчисления. Возможно, что эти барьеры, требующие выхода на новый уровень абстрагирования, были бы преодолены (все предпосылки для этого имелись), но помешал цивилизационный кризис, который вместе с утверждением нового мировоззрения в европейской культуре поставил жесткие барьеры на пути развития как математики, так и естествознания. Дело в том, что главенствующую роль в средневековой культуре играла христианская религия и церковь, рассматривавшая жизнь на Земле как подготовку к загробной жизни на небесах. Исследование природы, в том числе математическими средствами, стало считаться предосудительным занятием, атрибутом отрицаемого язычества. В 529 г. император Юстиниан вообще запретил занятие математикой под страхом смертной казни.

Центр математических исследований после плодотворного тысячелетнего развития в рамках античной культуры переместился надолго на Восток – Индию, Китай, арабский мир. Возрождение математической традиции в Европе с опорой на достижения восточной математики позволило в XIII-XVI вв. подойти к логичному завершению элементарных математических концепций. Формируется система алгебраических обозначений и правила буквенного исчисления (Вист, Декарт, Гэрриот); расширяются представления о числе (отрицательные числа, иррациональные числа, комплексные числа), во многом благодаря работе в области поиска решений уравнений третьей и четвертой степени. Р. Декарт, создав аналитическую геометрию, показал возможность алгебраического решения геометрических задач. Р. Декарт также вводит понятие переменной величины. Все это вплотную подвело к началу нового революционного этапа в развитии математики, который по праву можно назвать этапом математики переменных величин, или торжеством концепций математического анализа.

Во второй половине XVII в. прежде всего в работах И. Ньютона и Г. Лейбница, а также их последователей (Я. Бернулли, И. Бернулли, Г. Лопиталь) создано исчисление бесконечных малых, дифференциалов и интегральное исчисление. Следует подчеркнуть, что И. Ньютон и Г. Лейбниц независимо друг от друга создали две эквивалентные версии математического анализа.

И. Ньютон, идя от прикладных вопросов, сформулировал две основные проблемы исчисления бесконечных малых: проблема вычисления скорости при неравномерном движении или вычислении производной; нахождение интеграла по его подынтегральному выражению или определение решения уравнения, связывающего производные. В 1687 г. вышел великий труд И. Ньютона «Математические начала натуральной философии». В предисловии к ней И. Ньютон пишет:

«Сочинение это предлагается нами как математические основания физики. Вся трудность физики, как будет видно, состоит в том, чтобы по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам объяснить остальные явления. Для этой цели предназначены общие предложения, изложенные в книгах первой и второй. В третьей же книге мы даем пример вышеупомянутого приложения, объясняя систему мира, ибо здесь из небесных явлений математически выводится сила тяготения тел к Солнцу и планетам. Затем по этим силам, также при помощи математических предложений, выводятся движения планет, комет, Луны и моря».

Г. Лейбниц пришел к дифференциальному и интегральному исчислению, исходя из решения других задач: проведения касательных для целого ряда кривых, вычисления их минимумов и максимумов. Г. Лейбниц ввел общее понятие функции и поставил задачей найти универсальный алгоритм, позволяющий находить производные для целого класса функций. И он разработал правила дифференцирования для суммы, произведения, частного и для суперпозиции нескольких функций. Именно им были введены термины «дифференциал» и «интеграл» и привычные для нас знаки ∂ и ∫.

Дальнейшее развитие математического анализа связано с именами таких крупных математиков, как Эйлер, Лагранж, Клеро, Д. Бернулли, Лаплас, Даламбер, Лежандр, Рикатти и многих других.

Триумфом методов математического анализа и его приложений к задачам небесной механики стало предсказание возвращения в 1759 г. кометы Галлея и в последующем вычисление орбит неизвестных тогда и ненаблюдаемых невооруженным глазом планет (Уран, астероидный пояс).

Третий период в развитии математических концепций начинается в XIX в., когда математика начинает осваивать новый уровень абстракций, переходит к более точному определению понятий и принципов доказательств. Здесь намечается окончательный разрыв с наглядными образами и прообразами элементарной и классической математики. В какой-то мере предчувствие перехода на новый этап содержится еще в гипотетических положениях Г. Лейбница, стремившегося создать «универсальную математику», которая должна заниматься «всем, что в области воображения поддается точным определениям». Лейбниц стремился создать науку об абстрактных отношениях между математическими объектами – «искусство формул», которая бы охватывала не только отношения между величинами (равенство, неравенство, пропорциональность), но и отношения иных типов (включение, отображение, симметричность, транзитивность).

Однако все дело в том, что конкретный исследовательский материал, в котором детально были изучены такого рода отношения, еще не был в самой математике наработан.

Первая «волна» таких наработок была осуществлена в первой половине XIX в. Здесь прежде всего следует выделить появление таких новых направлений, как создание Лагранжем и Галуа теории групп, обобщающей теорию алгебраических уравнений; построение неевклидовых геометрий (Н.И. Лобачевский, Я. Больяй); появление первых работ по математической логике (алгебра логики Дж. Буля как вид нечисловой алгебры).

Понятие группы, введенное в 30-х гг. XIX в., в связи с задачей о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, вскоре было значительно расширено, что существенно сказалось на основных понятиях и методах алгебры. Если классическая алгебра имела дело с исследованием общих операций над числами, формальными преобразованиями выражений и решением уравнений, то к середине XIX в. понятие исчисления существенно расширилось: операции начали производиться над векторами, кватернионами, матрицами, логическими высказываниями. Изучение различных операций сочеталось с изучением таких алгебраических структур, как группы, кольца, поля, решетки и т.д. В дальнейшем предметом алгебры становится изучение разного рода алгебраических структур, порождаемых в множествах, введением различных операций.

Открытие неевклидовой геометрии привело к отказу от точки зрения на аксиомы как истины, не требующие доказательства в силу своей очевидности. Оказалось, что аксиомы скорее являются гипотезами первого порядка, и речь можно вести о пределах их истинности и о том, насколько построенные с их помощью модели соответствуют структурам (и каким именно) материального мира. Это послужило стимулом к глубоким исследованиям в области оснований математики. Точно так же, как и первые шаги в области алгебры логики, которые впоследствии опровергли убежденность о неалгебраическом характере форм мышления, создании исчисления высказываний в строго аксиологической форме (Г. Фреге).

Расширение исследований в области упомянутой «первой волны» неклассической математики привело к новым построениям Римана, показавшего неограниченное разнообразие геометрических пространств, отличающихся друг от друга размерностью, формулами для вычисления расстояний и т.п. Стали изучаться пространства с комплексными координатами; пространства, элементами которых являются не точки, а прямые, окружности, сферы, функции, последовательности (функциональные пространства). В последующем данные идеи нашли плодотворное применение при создании теории относительности и в квантовой механике (бесконечномерные пространства и линейные операторы в этих пространствах).

В конце XIX в. идеи теории групп нашли применение в геометрии (Ф. Клейн – Эрлангенская программа). Геометрия начинает рассматриваться как наука, изучающая свойства фигур, не изменяющиеся при преобразовании из той или иной группы (группы перемещений, подобий, проективных, конформных, аффинных преобразований). В результате можно получить разные геометрии. А поскольку отыскание инвариантов данной группы является алгебраической задачей, то была установлена взаимосвязь алгебры и геометрии на новом уровне обобщений (по сравнению с Р. Декартом).

Критические исследования понятий «предел функции», «непрерывность», «производная», «интеграл» и поиски обоснований операций математического анализа привели к детальному изучению разрывных функций (Фурье) и появлению теории точечных множеств и последующему ее обобщению (Г. Кантор). Развитие теории множеств показало ее применимость к самым различным разделам математики.

В конце XIX – начале XX в. обозначается «вторая волна» развития современной математики. Она характеризуется не только появлением все новых глубоких ее направлений (топология, теория многомерных пространств и отображений, теория вероятностей и др.), но и пристальным вниманием к исследованию оснований математики. Особо следует в связи с этим выделить работы Д. Гильберта в области исследования геометрической аксиоматики и развития аксиоматического метода. Д. Гильберт разбил аксиомы геометрии на группы и исследовал вопрос об их независимости, для чего им были построены разнообразные «геометрии», совсем непохожие на евклидову. Тем самым была показана возможность построения геометрических систем из разного набора постулатов. Аналогичная работа была проделана по отношению к другим аксиоматизированным системам (арифметика, логика). Например, в области математической логики были уточнены правила и способы построения логических исчислений, изучены их основные свойства – независимость постулатов (П. Бернайс, К. Гёдель), непротиворечивость (Д. Гильберт, В. Аккерман), полнота (Пост), выявляются границы алгоритмического мышления, проявляющиеся, например, в алгоритмической неразрешимости ряда логических проблем, невыразимости всех содержательных истин в каком-либо формальном языке (теорема Гёделя). Это позволило уже в 40-е – 60-е гг. XX в. сформулировать современный обобщающий взгляд на математику как науку о математических структурах разного типа (алгебраических, порядка, топологических). В наиболее последовательной форме такая концепция современной математики была изложена группой выдающихся французских математиков (А. Вейль, Ж. Дьедоне и др.), объединившихся под псевдонимом Н. Бурбаки и выпустивших многотомное издание «Элементы математики», где наиболее важные разделы математики изложены с точки зрения теории структур¹.

Суть структурного подхода к математике выдающийся математик XX в. А.Н. Колмогоров охарактеризовал следующим образом:

«А. В основе всей математики лежит чистая теория множеств.

Б. Специальные разделы математики занимаются структурами, принадлежащими к тем или иным специальным родам структур. Каждый род структур определяется соответствующей системой аксиом. Математика интересуется только теми свойствами структур, которые вытекают из принятой системы аксиом, т.е. изучает структуры только с точностью до изоморфизма».

Сам А.Н. Колмогоров разработал на основе аксиоматического подхода современную версию теории вероятностей, рассмотрев ее как теорию мер особого вида, к которому применимы методы теории функций действительного переменного.

Столь углубленные поиски начал в математике, выход на новые уровни абстракции позволили найти глубинные связи между весьма различными направлениями и теориями современной математики. В итоге дальнейшая концептуализация математического знания не только не увела ее от реальных, практических проблем, но и в результате совершенствования методов и взаимосвязей внутри математики позволила найти пути решения весьма сложных физических, биологических, астрономических проблем.

Во второй половине XX в. интенсивно развиваются такие направления, как теория информации и математическая логика, которые получили опредмечивание в компьютерной технике и служат ключом к решению проблемы искусственного интеллекта. Современные физические разработки в области единой теории поля, исследования проблемы элементарности, природы вакуума, генезиса и развития Вселенной были бы немыслимы без использования самых абстрактных областей математического знания. Концепции дискретной математики применимы в современной генетике.

Самым ярким воплощением математического знания в практику за все время ее существования является, несомненно, создание компьютерной техники. Логическим завершением ее развития можно будет считать создание систем искусственного интеллекта, которые позволят в последующем преобразить не только облик самой математики, но и всей структуры научного познания.