1. Идеальные образы объектов реального мира (твердое тело, материальная точка, частица, вакуум, среда, поле, вихрь, волна)

В естествознании на протяжении длительного времени формируется ряд категорий, имеющих принципиальное значение при описании действительности. К таким категориям относятся материя, пространство, время, движение.

Мир, окружающий человека наполнен разнообразными материальными предметами, которые имеют свои особенности и свойства. Огромное количество предметов, безусловно, можно разделить по каким-то основаниям, но описание их при этом также будет затруднено. Поэтому одновременно с феноменологическим в естествознании сложился подход к описанию явлений действительности, основанный на идеализации объектов исследования. В результате возник ряд идеальных образов (моделей) реальных объектов действительности таких как: материальная точка, твердое тело, частица, среда, вакуум, поле, волна, вихрь и др.

Модели, используемые в науке, должны соответствовать реальным явлениям или объектам. Они описываются математически, что позволяет осуществлять количественную проверку характерных особенностей исследуемых природных явлений.

Модель материальной точки используют, если размеры тела много меньше размеров области пространства, в котором происходит движение. Другая абстрактная модель — система материальных точек — соответствует протяженным телам. Если важна жесткая связь точек между собой, используют модель абсолютно твердого тела; если же точки слегка подвижны в этой системе, удобнее модель упругого тела.

Учитывая особенности строения твердых тел, используют представления о кристаллической решетке или хаотическом расположении частиц, разделяя твердые тела на кристаллические и аморфные.

Твердыми называют тела, которые отличаются постоянством формы и объема. Это объясняется тем, что силы взаимного притяжения частиц твердого тела весьма велики по сравнению с этими силами в газах. Частица твердого тела не может удалиться от своих соседей на значительное расстояние. Тепловое движение частиц твердого тела представляет собой хаотические колебания относительно их положений равновесия, которые называют узлами кристаллической решетки. Колебания частиц не являются строго гармоничными, поскольку зависимость сил притяжения и отталкивания от расстояния между частицами (r) различна. Рассмотрим график зависимости потенциальной энергии взаимодействия частиц от расстояния между ними (рис.1).

● ●

Рис.1. График потенциальной энергии взаимодействующих

частиц твердого тела

Рис 2. Универсальный график агрегатных состояний

вещества без внешнего давления

Потенциальной энергией П (r) взаимодействия двух частиц называется часть энергии этой системы, зависящая от расстояния между их центрами. Величина П (r) измеряется той работой, которая совершается силой F(r) при изменении расстояния между частицами от r до бесконечности (∞), где потенциальная энергия П (r) считается равной нулю. Такой выбор нулевого значения определяется тем, что две частицы на очень большом расстоянии друг от друга практически не взаимодействуют.

При сближении частиц на малое расстояние ∆r под действием сил притяжения, то система двух частиц совершает положительную работу. При этом увеличивается кинетическая энергия частиц, а потенциальная энергия уменьшается. Потенциальная энергия при сближении частиц в области действия сил притяжения является величиной отрицательной, что видно из графика на рис.1. Если частицы сближаются на расстояние ∆r в области, где действуют силы отталкивания, то система совершает отрицательную работу по преодолению этих сил. Этот процесс связан с уменьшением кинетической энергии частиц и увеличением потенциальной энергии их взаимодействия. Из выбора начала отсчета потенциальной энергии следует, что в области действия сил отталкивания потенциальная энергия является положительной величиной. Наибольшее сближение частиц достигается при некотором расстоянии r=d , при котором вся кинетическая энергия частиц израсходована на совершение работы против сил отталкивания. При этом потенциальная энергия равна полной энергии E системы двух частиц и имеет наибольшее значение П_макс (r)=Е. Величина полной энергии Е опрделяет расстояние d, которое равно абсциссе точки пересечения кривой П (r) с горизонтальной прямой П (d)=Е. Быстрый рост потенциальной энергии в области расстояний близких к d указывает на то, что силы отталкивания между частицами быстро увеличиваются при уменьшении расстояний между ними. Расстояние d представляет собой эффективный диаметр частицы, определяющий линейные размеры той области, в которую не может проникать другая частица. При r=r₀ система двух частиц находится в состоянии устойчивого равновесия. Этому соответствует наименьшее значение потенциальной энергии П₀ на рис.1. Расстояние d тем меньше, чем больше кинетическая энергия частиц и зависит от строения частиц. Кинетическая энергия частиц Е в сравнении с потенциальной энергией П позволяет различать три агрегатных состояния вещества: газообразное - Е >> П; жидкое - Е ≈ П; твердое - Е < П (рис.2).

Твердые тела, имеющие упорядоченное, периодически повторяющееся в пространстве расположение своих частиц, называют кристаллическими, а отдельные из части называют кристаллами. Кристаллы ограничены плоскими гранями, которые упорядоченно расположены относительно друг друга. Грани сходятся в ребрах и вершинах. Одиночные кристаллы, имеющие форму правильных многогранников, называются монокристаллами. Большинство твердых тел имеют мелкокристаллическую структуру (поликристаллы). Примерами поликристаллических твердых тел являются металлы, камни, песок, и др.

Частицы, из которых состоит кристалл, образуют в пространстве правильную кристаллическую решетку (пространственная решетка). Основу кристаллической решетки составляет элементарная ячейка определенной геометрической формы, в вершинах которой – узлах кристаллической решетки- расположены частицы (атомы, молекулы или ионы). Элементарная ячейка, повторяется на расстояниях, кратных длинам ее ребер, и образует весь кристалл. Длина ребра элементарной ячейки называется периодом кристаллической решетки.

В кристаллических твердых телах имеется дальний порядок в расположении частиц, из которых построена ячейка кристалла: упорядоченное расположение частиц повторяется в пределах сотен, тысяч и десятков тысяч ячеек. В этом смысле кристалл можно рассматривать как одну, однотипно устроенную гигантскую частицу.

Кристаллические твердые тела обладают анизотропией – зависимостью физических свойств от направления внутри кристалла. Например, тепловое расширение, механическая прочность, оптические свойства зависят от направления в кристалле. Эти свойства характерны для монокристаллических твердых тел. В поликристаллах свойство анизотропии не проявляется.

Различают следующие типы кристаллических решеток: ионные, атомные, молекулярные, металлические. Ионные кристаллы – это большинство неорганических соединений (соли, окиси металлов и др.). В узлах кристаллических решеток ионных кристаллов размещаются правильно чередующиеся положительные и отрицательные ионы, которые возникают в процессе обмена электронами между частицами.

Атомные кристаллические решетки имеют полупроводники и многие органические соединения. Типичными примерами атомных кристаллических решеток являются решетки углерода – алмаз и графит. В узлах кристаллических решеток данного типа расположены электрически нейтральные частицы (атомы), которые связаны ковалентными связями, имеющими квантовомеханическое происхождение.

Молекулярные кристаллы, к которым относятся парафин, нафталин и др. органические соединения, в своих узлах имеют молекулы, сохраняющие свою индивидуальность. Между этими частицами действуют силы притяжения, которые обуславливают относительно низкую устойчивость молекулярных кристаллов к температурам.

Металлические кристаллические решетки образуются в процессе отщепления от атомов внешних электронов, что приводит к образованию положительных ионов в узлах кристаллической решетки. Внешние коллективизированные электроны принадлежат всему кристаллу в целом, образуя электронный газ в металле.

Металлическая связь в кристаллической решетке металлов обеспечивается притяжением между положительно заряженными ионами в узлах и отрицательно заряженным электронным газом. Коллективизированные электроны металлов стягивают положительные ионы, уравновешивая отталкивание между ними. При расстояниях между ионами, равных периоду кристаллической решетки, возникает устойчивая конфигурация ионов, а наличие электронного газа объясняет хорошую проводимость металлов по отношению к электрическому току и теплоте.

Вакуум – это такое состояние пространства, года пролетающая его частица не испытывает взаимодействия с другими материальными объектами. Другими словами вакуумом называется такая степень разряжения газа, при которой можно пренебречь соударениями между его частицами и считать, что средняя длина свободного пробега L превышает размеры D пространства, в котором находится газ. Понятие вакуум может иметь смысл в рамках мегамира. В этом случае говорят о пространстве, в котором существуют виртуальные частицы, обнаружить которые для современного естествознания является проблемой.

Термин среда используется для обозначения внешних условий, оказывающих влияние на протекание явлений и процессов. По своим характеристикам различают однородную и неоднородную среду; газовую, жидкую или твердую; турбулентную (вихревую) и ламинарную (слоистую) и др.

Кроме поступательного движения, как в механике, так и в других сферах научного описания мира хорошо известны колебания и волны, как специфическая форма движения в природе, которая определяет их особенности. Для научного описания явлений этого класса часто используется такая модель как гармонический осциллятор.

Современный мир полон волн: волны звука, распространяющиеся в воздухе и других средах; переменный ток, используемый в быту и технике; волны механических колебаний в струнах, колебания в кристаллах кварца, используемые для стабилизации частот радиопередатчика или в часах; волнение и зыбь в озерах, прудах и океанах; волны землетрясений, изучаемые в сейсмологии; электромагнитные волны, которые в оптическом и радиодиапазонах используют для передачи информации; волны вероятности, которые в мире квантов описывают поведение микрочастиц и более сложных форм вещества.

Механические колебания — это периодические движения. Чаще всего они возникают при нарушении устойчивого состояния равновесия системы, при этом равнодействующая сил не равна нулю. Одна из сил должна зависеть от времени, и система должна обладать избыточной энергией. За период колебаний выполняется закон сохранения и превращения энергии. Колебания могут происходить при наличии упругих сил, силы тяжести; электрические колебания (напряжений и сил токов) происходят в электрических цепях. Несмотря на разную природу колебаний, в них обнаруживаются общие закономерности. Физическая система, совершающая колебания, называется осциллятором.

Простейшими примерами колебаний являются колебания математического и пружинного маятников. Колебания массы (материальной точки), прикрепленной одним концом к пружине, простой пример гармонического движения. Математический маятник состоит из точечной массы, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити. При малой амплитуде почти каждый колебательный процесс можно считать линейным.

Период колебаний маятника при малых амплитудах, как установил еще Галилей, определяется его длиной и не зависит от массы маятника (рис. 2). Период колебания маятников разной длины l пропорционален квадратному корню из их длин пружины — обратно пропорционален собственной частоте колебаний Т= 2π √ m/k, где k — жесткость пружины, а m – масса тела, подвешенного к пружине. Это свойство изохронности колебаний маятника использовалось в XVII в. для отсчета равных промежутков времени, но колебания затухали, приходилось маятник подталкивать, и не было автоматического счета числа колебаний. Гюйгенс применил маятник в своих часах в качестве регулятора и довел их до практического использования и коммерческого успеха. Восемнадцатое столетие даже получило наименование века часов, хотя тогда они использовались, в основном, для определения долготы места.

Рис.3. Модель математического

маятника Рис. 4. Колебания груза на пружине.

Трения нет.

Если сместить тело массой m, прикрепленное к пружине, то со стороны пружины на него будет действовать возвращающая сила, направленная в сторону, противоположную силе, вызвавшей смещение (будем считать, что трение отсутствует). Для небольших смещений х возвращающая сила F= -kx. Используя второй закон Ньютона, можно записать: F=m·а= -kx, откуда ускорение a = - (k/ m) / x= ω ₀² x, где ω ₀ – собственная частота колебательной системы.

Это выражение — основной закон простого гармонического колебания: ускорение материальной точки математического маятника пропорционально смещению x.

На языке колебаний и волн наиболее ясно предстает единство природы. Гармонические колебания описываются функцией, изменяющейся по закону синуса или косинуса: где - постоянные величины; А — амплитуда колебаний, — круговая частота — период колебаний; 1/Т = v — частота). Если амплитуда со временем убывает, то колебания называются затухающими; если колебания происходят под действием внешней, периодически изменяющейся силы, их называют вынужденными; если же колебания происходят после выведения системы из состояния равновесия, то это — свободные колебания. Колебания могут иметь разную природу, но они обладают общими чертами и подчиняются общим закономерностям, что позволяет единым образом рассматривать механические, электрические и другие колебания. Колебания классифицируют по способу возбуждения (собственные, вынужденные, параметрические и автоколебания), по зависимости изменяющейся величины от времени и пр. С точки зрения кинематики различают периодические и непериодические колебания.

Всякая система, совершающая колебания, обладает своими свойствами, которым соответствуют собственные колебания, а им — собственные частоты ω ₀. Если на систему подействовать периодически меняющейся силой, то система откликнется малыми колебаниями, частота которых будет совпадать с частотой вынуждающей силы. Если частота этой силы совпадет с одной из собственных частот системы, то амплитуды колебаний резко возрастут. Такое явление называется резонансом. Резонанс имеет место при настройке радиоприемника на частоту передающей станции. В нелинейных системах, содержащих источник энергии, могут возникать незатухающие колебания и без внешнего воздействия — это автоколебания.

Любое повторяющееся движение можно рассматривать как результат сложения простых гармонических колебаний, а любое волновое движение – как сумму простых гармонических волн. Этот тезис, доказанный (1822) французским математиком и физиком Ж. Б. Фурье, служит основой для изучения повторяющихся явлений в самых разных областях. Волновые свойства света и микрочастиц лежат в основе современной картины мира. Гармоническое колебание играет значительную роль при изучении любых колебаний (особенно в акустике и оптике).

Волны – это изменение состояния среды, распространяющееся в ней без переноса вещества и несущее с собой энергию и импульс. Энергия, импульс и скорость – важнейшие характеристики волн. Процесс распространения колебаний (волна) может быть описан в общем виде математически. Основные свойства волн можно изучить на простых примерах и сформулировать общие положения, которые будут справедливы для любого типа волн.

Морские волны бьются о берега, при штормах ворочают огромные камни и переворачивают корабли. Телецентр излучает волны мощностью в десятки тысяч ватт, малую долю которых улавливают телевизоры. Волны переносят энергию любой величины от одной точки к другой, распространяясь с конечной скоростью, зависящей от среды их распространения: так, световые волны распространяются со скоростью 300 000 км/с, звуковые (в воздухе) – 344 м/с. Электромагнитные волны, приходящие на Землю от Солнца, имеют плотность мощности порядка 1 кВт/м² в широком диапазоне длин волн; эта энергия преобразуется зелеными растениями в химическую. При сжигании дерева или угля эта энергия вновь высвобождается. Наличие импульса у электромагнитных волн менее заметно, но оно было даже измерено П.Н.Лебедевым (1912) в его знаменитом эксперименте по определению светового давления на окружающие тела.

Монохроматической называют волну от гармонического источника, совершающего колебания с одинаковой частотой. Если колебания происходят по гармоническому закону, при распространении от источника до точки на расстоянии Z волна приходит с некоторым запаздыванием, связанным с конечной скоростью распространения волны: Волновой фронт – геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе. Он отделяет область пространства, вовлеченную в волновой процесс, от той, где колебания еще не возникли. В зависимости от волновой поверхности волны могут быть плоскими или сферическими. В плоской волне амплитуда постоянна, а в сферической — убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от источника. Сферические волны могут быть получены с использованием точечного источника, т.е. материальной точки.

Рис. Волновой фронт

Волновое движение образуется, если колеблющихся частиц много и они связаны между собой. Каждая испытывает влияние возвращающих сил, поэтому сами частицы среды (твердой, жидкой или газообразной) больших перемещений не совершают, но в самой среде распространяется импульс. Следя за перемещением импульса, проходящего расстояние dx за время dt, можно ввести его скорость как v = dx/dt. При не очень больших возмущениях среды волновое движение подчиняется принципу суперпозиции — два импульса распространяются независимо. Импульсы гасят друг друга в момент встречи (если имеют противоположные знаки) или складываются (при одинаковом направлении распространения).

При определенных условиях могут возникать бегущие волны. Бегущая волна образуется следующим образом. Пусть один конец пружины или струны закреплен и ни одна точка не испытывает смещений, а ко второму концу приложена сила, которая начинает в момент времени t = 0 поднимать и опускать его. При распространении этого воздействия на соседние участки по струне или пружине побежит волна со скоростью Расстояние х, которое данный участок волны проходит за время t, равно vt. Период T возбуждающего колебания и будет периодом волны, за время T волна распространяется на расстояние, называемое длиной волны Тогда скорость волны Отсюда Амплитуда волны меняется по закону: Из выражения для скорости волны получаем: Зависимость амплитуды волны от координаты в любой момент времени имеет вид:

Различают поперечные и продольные волны. В поперечных волнах частицы перемещаются перпендикулярно направлению распространения волны. Смещение среды может также вызвать импульс, распространяющийся перпендикулярно к нему. Такой эффект наблюдают, когда резким боковым движением посылали импульс вдоль веревки. В электромагнитных волнах направления электрического и магнитного полей перпендикулярны направлению распространения волны.

В продольных волнах частицы перемещаются вдоль направления распространения волны, например, распространение звука в воздухе или волн сжатия—растяжения в самой пружине. В звуковых волнах плотность газа, где распространяется звуковая волна, меняется по закону синуса.

В твердых телах распространяются как продольные, так и поперечные волны.

Стоячая волна является частным случаем интерференции волн (рис. 3).

Стоячая волна в простейшем случае образуется в результате наложения двух волн, распространяющихся во взаимно противоположных направлениях, если интерферирующие волны удовлетворяют следующим условиям: их частоты, амплитуды и направления колебаний должны быть одинаковыми. Интерферирующие волны, в отличие от стоячей, называются бегущими волнами. Примером стоячей волны может служить волна образующаяся в шнуре, закрепленном одним концом, когда другому концу сообщают колебания. Стоячая волна может образовываться в столбе газа, находящегося в трубе определенной длины. Длиной стоячей волны называется расстояние между двумя соседними узлами или пучностями :

λ _ст = λ /2. Колебания всех точек стоячей волны, лежащих между двумя соседними узлами, происходят с различными амплитудами, но в одинаковой фазе, в то время как в бегущей волне, наоборот, колебания всех точек происходят с одинаковыми амплитудами, но в различных фазах. В отличие от бегущей волны, в стоячей волне отсутствует перенос энергии- энергии колебаний каждого элемента объема среды, ограниченного соседними узлом и пучностью, не зависит от времени. Стоячие волны в различных средах ограниченной длины образуются лишь при определенных частотах, которые называют собственными частотами колебаний соответствующих тел. Теория стоячих волн широко используется при создании музыкальных инструментов.

Понятие стоячих волн, зародившееся в науке о звуковых колебаниях, распространилось и на другие колебательные системы, благодаря чему была решена задача теплового излучения, приведшая к созданию квантовой гипотезы. С использованием этой модели и волновой механики сумели описать строение атома. В современной теории атом рассматривается как система, обладающая определенными формами стоячих волн с характеристическими частотами. Вместо орбит в модели атома Бора теперь вводят замкнутые кольца стоячих волн. Чем дальше орбита, тем большее число пучностей должно войти в это кольцо. По тому же принципу строятся модели для атомного ядра. Волны – это не просто участки струны, отклоняющиеся вверх и вниз, и даже не колеблющиеся электроны, а мера вероятности того, что частица находится в данном месте.

Поверхностные волны распространяются по поверхности раздела сред. Волны на поверхности воды сопровождают перемещение судов. Если создать возмущение на поверхности воды, то возникнут волны. Частицы жидкости, находящиеся вблизи впадины, при создании возмущения будут стремиться заполнить ее под действием тяжести, создавая волны в воде. Частицы волны будут двигаться почти по окружностям, т. е. как бы совмещая свойства продольных и поперечных волн, но отличаясь от них обеих. Радиусы окружностей с глубиной уменьшаются до нуля. Скорость распространения волны u зависит от λ: для длинных волн – пропорциональна для коротких а для средней длины – от всех перечисленных параметров (здесь р – плотность жидкости, – коэффициент поверхностного натяжения). Значит, длинные волны вызваны силой тяжести, а короткие – силой поверхностного натяжения. Если длина волны меньше глубины водоема, то вблизи дна наблюдается чисто продольное движение, а на поверхности и вблизи нее каждая частица воды движется по эллипсу (комбинации колебаний в двух направлениях).

Уравнение для описания длинных волн на воде вывели датские ученые Д.Д. Кортевег и Г. де Фрис (1895). Если скорость линейных волн зависит от длины волны и не зависит от амплитуды, то для нелинейных волн существенны обе зависимости. Точное решение имеется лишь для волн в ряде случаев. Нелинейные волны начал изучать еще великий немецкий математик Георг Риман. Нелинейность проявляется при «опрокидывании» набегающих волн, которую можно наблюдать на речной отмели или в прибое на берегу моря. При нарастании крутизны волны может образоваться волна в виде ступеньки, которую называют бором. Бор – один из примеров ударной волны. Другие примеры ударных волн – взрывной звук, слышимый, когда реактивный самолет проходит звуковой барьер или когда пастух щелкает бичом. Ударные волны в воздухе – явление сложное; на фронте ударной волны скачком растут давление, плотность, температура, и значения этих скачков столь велики, что происходит яркое свечение (например, при ядерном взрыве, при падении метеоров-болидов).

При исследовании сложения двух уединенных волн оказалось, что высокие уединенные волны движутся скорее, так как после взаимодействия волн сохраняются их форма и скорость, процесс похож на упругое столкновение двух частиц. Такую волну назвали солитоном (от англ. solitary – уединенный). И солитоны в самом деле ведут себя как частицы. При соприкосновении таких волн большая замедляется и уменьшается, а малая ускоряется и увеличивается. И далее – по циклу, подобно упругим мячам. Результатом взаимодействия солитонов может быть лишь сдвиг фаз. Океанические солитоны (цунами, «девятый вал») могут возникать не только на поверхности, но и в глубинах, тогда из-за неоднородностей среды они образуют «групповые солитоны» (смерчи или торнадо). В нелинейной оптике наблюдается эффект самоиндуцированной прозрачности, эти солитоны естественно использовать для передачи информации по оптическим волокнам. Механизм усиления солитонов похож на явление комбинационного рассеяния света.

Аналогичный механизм распространения имеет и «элементарная частица мысли» – нервный импульс. Было установлено, что по нерву распространяется не электрический ток, а некоторая электрохимическая реакция, порождающая бегущий импульс напряжения. При этом передний фронт импульса не расплывается, т. к. диффузия ионов через мембрану носит нелинейный характер — подавляет малые отклонения от нормального состояния и усиливает большие.

Особую роль в жизни человека играют звуковые волны. Звуковыми называют упругие волны, вызывающие у человека ощущение звука. Среди них различают: тоны или музыкальные звуки; шумы; звуковые удары. Гармонический процесс – это чистый или простой тон, а ангармонический – сложный тон. Сложный тон раскладывают на простые, при этом наименьшая частота – основной тон, а обертоны или гармоники имеют частоты, кратные основному. Набор частот с указанием интенсивностей компонент называют акустическим спектром. Шум – это звук со сложной неповторяющейся временной зависимостью: согласные звуки речи, скрип, шорох, вибрации машин. Звуковой удар – это кратковременное звуковое воздействие: взрыв, хлопок и др.

Колеблющаяся плоская пластинка возбуждает в среде бегущую волну с амплитудой и частотой распространяющуюся от источника, и передает слою воздуха массой некоторую энергию.

Максимальная кинетическая энергия этого слоя — плотность слоя воздуха. Но при простом гармоническом движении средняя потенциальная энергия равна средней кинетической, и это выражение описывает запас энергии в слое площадью А и толщиной Пусть колебания начинаются при t = 0 и распространяются в воздухе со скоростью – расстояние, на которое распространится возмущение за время ∆t. Разделив выражение для энергии на получим: где Р – мощность, излучаемая колеблющейся пластинкой в направлении х. Зная мощность, приходящуюся на единицу площади, вычисляют интенсивность любой бегущей волны, т. е. и звука. Выражение для интенсивности звука получим, разделив обе части этого выражения для мощности на А:

Итак, интенсивность звуковой волны пропорциональна квадрату амплитуды и определяется как скорость потока энергии через единичное поперечное сечение. Наименьшая интенсивность звука, которую слышит человеческое ухо, порядка I₀ = 10^-12 Вт/м², ее называют порогом слышимости.

Реактивный самолет, набирающий высоту недалеко от человека, создает интенсивность звука в 10¹⁵ раз, а поезд метро - в 10¹⁰ раз большую. Болевой порог интенсивности — 10¹²I₀, это значение может достигаться на концертах рок-музыки. Приведенные показатели степени, умноженные на 10, определяют децибельную шкалу интенсивности звука, названную в честь Генриха Белла. Интенсивность звука в децибелах и обозначается дБ. Тогда порог слышимости составляет 0 дБ, а концерт рок-музыки – 120 дБ. Санитарная норма соответствует 30-40 дБ.

Шумовая болезнь проявляется в повышенном артериальном давлении, быстрой утомляемости, плохом сне и ослабевании слуха. Тембр звука при одинаковых громкости и высоте тона определяется спектральным составом звука, испускаемого разными источниками. Звуковые волны распространяются в воздухе со скоростью около 330 м/с при нормальных условиях, причем их скорость не зависит от частоты.

Человеческое ухо способно воспринимать только часть звуковых колебаний, которые, попадая на барабанную перепонку, возбуждают нервную реакцию. Для оценки интенсивности звука удобнее использовать звуковое давление, возникающее в среде при прохождении звука.

Интенсивность звука I связана с давлением p, плотностью среды и скоростью звука с соотношением: Высота звука определяется частотой колебаний: она тем выше, чем больше частота. Интервалу волн длиной от 20 м до 1,6 см, воспринимаемых ухом, соответствует диапазон частот между 16 и 20 000 Гц соответственно. Звуковые частоты и соответствующие им длины волн (Гц/м) приведены ниже:

Указанные пределы слышимости относятся к молодым людям. С возрастом диапазон сокращается, мужчины начинают утрачивать чувствительность к высоким нотам раньше, чем женщины. В среднем возрасте они уже не воспринимают звуки выше 12 000 Гц, а после 50 лет верхняя часть спектра звуков оказывается недоступна. Интересно, что воспринимаемый нами диапазон звуков шире того, который используется для речи или пения (100-1000 Гц). Но когда высокие частоты гаснут (как правило, в недорогих акустических системах), то теряются яркость и красота звучания, а если низкие частоты, звук кажется монотонным, хотя высота тона воспринимается верно.

Замечательную связь между числами и законами музыкальной гармонии открыл еще Пифагор. Он использовал монохорд — струну, закрепленную на одном конце и перекинутую через острие ножа, так что к ней можно было подвешивать гири, создавая различные натяжения. Тогда было известно и об ощущениях, вызываемых разными комбинациями тонов: одни были приятными, другие – диссонирующими. Пифагор доказал, что приятные сочетания создают струны с одинаковым натяжением, длины которых находятся в отношении 2 : 1, два таких тона отличаются на интервал в одну октаву. Интервал 3 : 2 получил название квинты. Он отметил, что приятные сочетания связаны с простыми числами, характеризующими отношение длин.

Таким образом, высота тона закрепленной струны связана с ее длиной. Для одной и той же струны, колеблющейся с одной, двумя, тремя и более пучностями, частоты колебаний находятся в пропорции 1 : 2 : 3 и т.д. Уменьшение длины струны в 2 раза приводит к повышению тона рождаемого ею звука на октаву. На основании подобных закономерностей Пифагор разработал теорию музыкальной гаммы и гармонии.

Поле – одна из форм существования материи и, пожалуй, самая важная. Понятие «поле» отражает тот факт, что электрические и магнитные силы действуют с конечной скоростью на расстоянии, взаимно и непрерывно порождая друг друга, а также то, что все тела, обладающие массами взаимодействуют друг с другом посредством гравитационных сил. Поле излучается, распространяется с конечной скоростью в пространстве, взаимодействует с веществом. Если И.Ньютон создал представления о гравитационном взаимодействии и широко их пропагандировал, то М. Фарадей сформулировал идеи поля как новой формы материи, а записи вложил в запечатанный конверт, завещав вскрыть его после своей смерти (этот конверт был обнаружен только в 1938 г.). Фарадей использовал (1840) идею всеобщего сохранения и превращения энергии, хотя сам закон еще не был открыт.

В лекциях (1845) Фарадей говорил не только об эквивалентных превращениях энергии из одной формы в другую, но и о том, что он давно пытался «открыть прямую связь между светом и электричеством» и что «удалось намагнитить и наэлектризовать луч света и осветить магнитную силовую линию». Ему принадлежит методика изучения пространства вокруг заряженного тела с помощью пробных тел, введение для изображения поля силовых линий. Он описал свои опыты по вращению плоскости поляризации света магнитным полем. Изучение взаимосвязи электрических и магнитных свойств веществ привело Фарадея не только к открытию пара- и диамагнетизма, но и к установлению фундаментальной идеи – идеи поля. Он писал (1852): «Среда или пространство, его окружающие, играют столь же существенную роль, как и сам магнит, будучи частью настоящей и полной магнитной системы».

Фарадей показал, что электродвижущая сила индукции Е возникает при изменении магнитного потока Ф (размыкании, замыкании, изменении тока в проводниках, приближении или удалении магнита и пр.). Максвелл выразил этот факт равенством: Е = -dФ/dt. По Фарадею, способность индуцировать токи проявляется по окружности вокруг магнитной равнодействующей. Максвелл записывает это в векторной форме (рис. 4): rot E = -dB/dt, т. е. переменное магнитное поле окружено вихревым электрическим полем, а знак минус связан с правилом Ленца: возникает индукционный ток такого направления, чтобы препятствовать изменению, порождающему его. Обозначение rot от англ. rotor – вихрь. Ро́тор, или вихрь – векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F. В 1846 г. Ф. Нейман нашел, что на создание индукционного тока надо затратить определенное количество энергии.

Максвелл математически обработал идеи Фарадея, связав в своих уравнениях все экспериментальные законы, полученные в области электрических и магнитных явлений. Закон Ампера имеет дело с магнитным полем вдоль замкнутого контура с током. Аналог закона Кулона в электростатике – закон Био-Савара выглядел в векторной форме так: rot H = j.

Суммируя токи и поля для показа того, что магнитное поле создается не только током проводимости j, но и током смещения, Максвелл вводит дополнительный элемент dD/dt, где D – вектор электрической индукции. Так, по аналогии с фарадеевой поляризацией диэлектрика он ввел в свои уравнения поляризацию пространства, или вакуума. Введение поляризации вакуума вызвало неоднозначную реакцию со стороны ученых, до сих пор обсуждение этого вопроса не сходит со страниц научных журналов, вызывая дискуссии. Но Максвелл представлял вакуум диэлектрической средой, а не сплошной пустотой.

Кроме уже сформулированных двух уравнений, отражающих закон индукции и закон Био—Савара, Максвелл записал в векторной форме законы о замкнутости магнитных силовых линий div B = 0 и о структуре электрического поля div D = р (р — плотность электрического заряда), а также группу уравнений для векторов электромагнитного поля, связанных с характеристиками среды: и тока проводимости где — сторонняя электродвижущая сила; - электрическая и магнитная проницаемости среды соответственно. С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или стоком этого поля:

 — точка поля является источником;

 — точка поля является стоком;

 — стоков и источников нет, либо они компенсируют друг

друга.

В целом система уравнений, записанная Максвеллом в векторной форме, имеет компактный вид:

Входящие в эти уравнения векторы электрической и магнитной индукции (D и В) и векторы напряженности электрического и магнитного полей (Е и Н) связаны указанными простыми соотношениями с диэлектрической постоянной ε и магнитной проницаемостью среды μ. Использование этой операции означает, что вектор напряженности магнитного поля вращается вокруг вектора тока плотности j.

Согласно уравнению (1), любой ток вызывает возникновение магнитного поля в окружающем пространстве, постоянный ток — постоянное магнитное поле. Такое поле не может вызвать в «следующих» областях электрическое поле, так как, по уравнению (2), только изменяющееся магнитное поле порождает ток. Вокруг переменного тока создается и переменное магнитное поле, способное создать в «следующем» элементе пространства электрическое поле волны, волны незатухающей, — энергия магнитного поля в пустоте полностью переходит в энергию электрического, и наоборот. Поскольку свет распространяется в виде поперечных волн, можно сделать два вывода: свет — электромагнитное возмущение; электромагнитное поле распространяется в пространстве в виде поперечных волн со скоростью с = 3 • 10⁸ м/с, зависящей от свойств среды, и поэтому невозможно «мгновенное дальнодействие». Это предчувствовал Ломоносов, доказали Фарадей и Максвелл. Итак, в световых волнах колебания совершают напряженности электрического и магнитного полей, а носителем волны служит само пространство, которое находится в состоянии напряжения. А оно за счет тока смещения создаст новое магнитное поле и так до бесконечности (рис. 2.6, в).

Смысл уравнений (3) и (4) понятен — (3) описывает электростатическую теорему Гаусса и обобщает закон Кулона, (4) отражает факт отсутствия магнитных зарядов. Дивергенция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) есть мера источника. Если в стекле, например, не рождаются световые лучи, а только проходят сквозь него, divD = 0. Солнце как источник света и теплоты обладает положительной дивергенцией, а темнота — отрицательной. Поэтому силовые линии электрического поля кончаются на зарядах, плотность которых р, а магнитного — замкнуты сами на себя и нигде не кончаются.

Система взглядов, которая легла в основу уравнений Максвелла, получила название максвелловской теории электромагнитного поля. Хотя эти уравнения имеют простой вид, но чем больше Максвелл и его последователи работали над ними, тем более глубокий смысл открывался им. Г. Герц, опыты которого явились первым прямым доказательством верности теории электромагнитного поля Фарадея-Максвелла, писал о неисчерпаемости уравнений Максвелла: «Нельзя изучать эту удивительную теорию, не испытывая по временам такого чувства, будто математические формулы живут собственной жизнью, обладают собственным разумом — кажется, что эти формулы умнее нас, умнее даже самого автора, как будто они дают нам больше, чем в свое время было в них заложено».

Процесс распространения поля будет продолжаться до бесконечности в виде незатухающей волны — энергия магнитного поля в пустоте полностью переходит в энергию электрического, и наоборот. Среди постоянных, входящих в уравнения, была константа с; Максвелл нашел, что ее значение равнялось точно значению скорости света. На это совпадение нельзя было не обратить внимания. Итак, в световых волнах колебания совершают напряженности электрического и магнитного полей, а носителем волны служит само пространство, которое находится в состоянии напряжения.

Световая волна — это волна электромагнитная, «бегущая в пространстве и отделенная от испустивших ее зарядов», как выразился Вайскопф. Открытие Максвелла он сравнил по важности с открытием закона тяготения Ньютона. Ньютон связал движение планет с тяготением на Земле и открыл фундаментальные законы, управляющие механическим движением масс под действием сил. Максвелл связал оптику с электричеством и вывел фундаментальные законы (уравнения Максвелла), управляющие поведением электрических и магнитных полей и их взаимодействием с зарядами и магнитами. Труды Ньютона привели к введению понятия всеобщего закона тяготения, труды Максвелла — понятия электромагнитного поля и к установлению законов его распространения.

Если электромагнитное поле может существовать независимо от материального носителя, то дальнодействие должно уступить место близкодействию, полям, распространяющимся в пространстве с конечной скоростью. Идеи тока смещения (1861), электромагнитных волн и электромагнитной природы света (1865) были настолько смелыми и необычными, что даже следующее поколение физиков не сразу приняло теорию Максвелла. В 1888 г. Г. Герц открыл электромагнитные волны, но такого активного противника теории Максвелла, как У. Томсона (Кельвин), смогли убедить лишь эксперименты П.Н.Лебедева, открывшего в 1889 г. существование светового давления.

Плотность потока энергии в волне, распределенной в некоторой области пространства и колеблющейся во времени, — это количество электромагнитной энергии, проходящей через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения, в единицу времени. Плотность потока энергии обозначают буквой J. Для плоской волны с Е = В энергия делится поровну между электрической и магнитной компонентами, поэтому удобно записать: J= Е² c = В² c, где c = √ 1/ ε ₀ μ ₀ . С учетом этого можно записать J = E B.

Электромагнитное излучение Солнца переносит на Землю его энергию, снабжая нас теплотой и светом. Учение о движении энергии было разработано русским физиком Н.А.Умовым. Он показал, что изменение энергии внутри объема определяется ее потоком, проходящим через поверхность. Через 11 лет после публикации Умова английский физик лорд Дж. Рэлей представил Королевскому обществу сообщение Дж. Пойтинга «О переносе энергии в электромагнитном поле», где содержались независимо полученные аналогичные результаты. Поэтому в настоящее время вектор S = [Е, B] называют вектором Умова-Пойтинга. Данный вектор показывает направление потока энергии и равен плотности потока.

Импульс электромагнитной волны можно записать аналогично: из формулы Е = m · с² следует получить значение эквивалентной массы и, зная скорость распространения волны с, посчитать импульс, т. е. Р = m · с = Е/с. Так как скорость света огромна, мы не замечаем давления света, обусловленного наличием импульса ни от световой волны, ни от светящейся лампочки, ни от Солнца. В теории Максвелла энергия распределена в пространстве с объемной плотностью, записанной выше, и электромагнитная волна несет энергию. Ученый утверждал, что, падая на поглощающую поверхность, волна должна производить давление, пропорциональное объемной плотности энергии.

В середине XIX в. Максвелл объединил электричество и магнетизм в единой теории поля. Электрический заряд связан с элементарными частицами, из которых самые известные — электрон и протон — имеют одинаковый по величине заряд е, это универсальная постоянная природы. В СИ = 1,6 • 10^-19 Кл. Хотя магнитных зарядов пока не обнаружено, в теории они уже возникают. По мнению физика Дирака, величина магнитных зарядов должна быть кратной заряду электрона

Дальнейшие исследования в области электромагнитного поля привели к противоречиям с представлениями классической механики, которые пытался устранить путем математического согласования теорий голландский физик X. А. Лоренц. Он ввел преобразования координат инерциальных систем, которые в отличие от классических преобразований Галилея содержали константу — скорость света, которая и осуществляла связь с теорией поля. Изменились масштабы времени и длин при скоростях, близких к скорости света. Физический смысл этих преобразований Лоренца был объяснен только А. Эйнштейном в 1905 г. в его работе «К электродинамике движущихся тел», составившей основу специальной теории относительности (СТО), или релятивистской механики.