Дифференциал функции

Пусть дана функция у = f(x). По определению ее производная

y`_х = lim_∆x→0∆y/∆x

Естественно, сама производная у`_х всегда отлича­ется от от­ношения ∆y/∆x на какую - то малую величину α.

∆y/∆x = y`_x + α. Найдем отсюда ∆у: ∆у = у'_х ∆х + α∆х

Так как величина α∆х ввиду малости α и очень мала, то ею можно пренебречь, поэтому назы­вают главным приращением функции или дифференциалом функции и обозначается dy; т.е. dy = y_x'∆x. Дифференциал аргумента равен его приращению: dx = ∆х, тогда

dy = y`<sub>x</sub>dx, а y`_x = dy/dx

Первая производ­ная равна отношению диф­ференциала функ­ции к дифференциалу аргу­мента.

Из чертежа CD = AC tg α₁, AC = ∆x, a tgα = y`_x (геометри­ческий смысл производ­ной), тогда CD = у'_x dx, но y_x'dx = dy;

CD = dy

Таким образом, дифференциал есть приращение ординаты касательной, соответствующей приращению аргумента ∆х.