Основные методы интегрирования

1. Метод разложения подинтегралыюй функции на слагаемые.

Пример: ∫ (x + l)(x - 2)dx = ∫ (x²-x-2)dx = ∫x²dx - ∫xdx - ∫2xdx = ∫(x³/3 +C₁) – (x²/2 + C₂) - (2x + C₃) = x³/3 – x²/2 -2x + C, где С = С, - С₂ - С₃.

2. Метод подстановки (замены переменной).

Пример: ∫e^3xdx = 1/3∫e^zdz = 1/3e^z + C = 1/3e^3x + C.

Введем новую переменную: Зх = z.

Найдем ее дифференциал: dz = 3dx.

Определим dx через dz: dx = dz/3

Заменим в нашем выражении переменную х через z и вычис­лим интеграл.

3. Метод интегрирования по частям.

∫udv = u * v - ∫vdu(l)

Приведенная формула показывает, что интеграл Judv приво­дит к интегралу ∫vdu , который может оказаться более простым, чем исходный, или даже табличным.

Пример: ∫lnxdx, полагая здесь u = lnx, dv = dx, получим:

du = dx/x и v =x

Подставляя в формулу (1), находим решение:

∫lnxdx = xlnx - ∫x(dx/x) = xlnx - ∫dx = xlnx - x + C = x(lnx-l) + C.

Пример: Найти уравнение пути равноускорен­ного движения.

а = (υ_t – υ₀)/ t, υ_t = υ₀ + at, υ_t = dS/dt, dS = υ_tdt, dS = (υ₀ =at)dt.

Интегрируем обе части равенства.

∫dS = ∫ (υ₀ +at)dt = ∫dS = υ₀ ∫dt + a∫tdt, S = υ₀t + at²/2 + C.

В момент t = 0, S = 0 и С=0, тогда S = υ₀t + at²/2