Производные второго и высших порядков

Производная от первой производной, если она существует, называется второй производной или производной второго по­рядка.

Обозначение: y``_x = d²y/dx² (де два игрек по де икс дважды).

Пример: у = Зх²+2х-1

Производная I порядка: у_х' = 3 * 2х + 2 * 1- 0 = 6х + 2

Производная II порядка: у_х" = 6 * 1 + 0 = 6

Физический смысл I производной есть мгновен­ная скорость: υ = dS/dt

Физический смысл II производной есть ускорение: a = dυ = d²S/dt²

Точно так же, как производная второго порядка, находятся производные высших порядков (производная от производной пре­дыдущего порядка, если она существует).

Пример:у = х⁶ + е^х

y`_x = dy/dx = 6x⁵ + e^x, y``_x = d²y/dx² = 30x⁴ + e^x, y```_x = d³y/dx³ = 120x³ + e^x,

у_x^IV = d⁴y/dx⁴ = 360х²+е^х, у_х^V = d⁵y/dx⁵ =720х + е^х, у_x ^VI = d⁶y/dx⁶ = 720 +е^x…

С помощью производных первого и второго порядков можно исследовать поведение некото­рых функций.