Дифференциальные уравнения

Дифференциальными уравнениями описыва­ются различные процессы и явления в физике, химии, биологии и медицине. Они позволяют, в частности, определять изменение состояния различ­ных биологических систем со временем, создавать и анализиро­вать математические модели многих функциональных систем че­ловека.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую пере­менную х, искомую функцию и ее производные.

F(x, y, y`_x, y``_x, ...) = 0.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Решением или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция f(x), которая будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

Дифференциальное уравнение имеет бесчислен­ное множе­ство решений. Чтобы получить единичное решение, необходимо задать началь­ные условия (х = х₀), у(х₀) = у₀.

Общим решением дифференциального уравне­ния называется функция у = f(x,C), которая зависит от произвольной постоянной С. Частным решением дифференциального уравнения называет­ся любая функция у = f(x), которая получается из общего реше­ния, если в последнем произвольному постоянному С придать опреде­ленное значение С_о, которое определяется начальными ус­ловиями.

Пример: дано равенство y`_х ⁼ 2х, dy/dx = 2х или dy = 2xdx .

Можно найти уравнение кривой, т.е. выразить переменную у как функцию от х. Для этого интегрируем левую и правую части: ∫dy = 2∫xdx, получаем у = х² + С, где С произвольная посто­янная. При любом значении постоянной С дифференциал выражения dy = 2x dx, при замене у выражением х² + С, приводит к тожде­ству d(x² + С) = 2х dx. Таким образом, решением уравне­ния служит не одна, а бес­численное множество функций, определяемых выражением х² + С и отличающихся только значением постоянной С.