Некоторые правила нахождения производ­ных

1. Постоянная величина выносится за знак производной.

y = Cf(x), y'_x= C[f(x)]' y = 2/5x⁵, y'_x=2/5[x⁵] = 2/55x⁴ =2 x⁴

2. Производная суммы или разности функций равна сумме или разности производных.

y = u ± v, y'_x =u`_х ± v'_x , y = 3x² + lnx, y'_x = 3 * 2x + 1/x = 6x + 1/x

3. Производная произведения двух функций равна произведе­нию производной первой функции на вторую функцию плюс произведе­ние первой функции на производную второй.

y = uv, y_x =u'_xv + v'_xu , y = xsinx,

у`_х =l sinx + x cosx = sin x+x cosx

4. Производная дроби равна также дроби, числитель которой есть разность произведения знаменателя на производную числи­теля и числителя дроби на производную знаменателя, а знамена­тель есть квадрат прежнего знаменателя.

y = u/v, y`<sub>x</sub> = (vu`_x – uv`_x)/v²

y = (3x-1)/x, y`<sub>x</sub> = (x(3x – 1) - (3x – 1)x`)/x² = (3x – 3x + 1)/x² = 1/x²

5. Производная сложной функции.

Пусть у есть функция от аргумента Z, у = f(Z), а аргумент Z есть функция от аргумента X, Z = f(X). Тогда функция у = f[f(x)] называется слож­ной функцией.

Производная cложной функции по независи­мому переменно­му X равна произведению производной этой функции по промежуточ­ному аргументу Z на производную промежу­точно­го аргумента по независимой перемен­ной X.

у'х =y'_z * Z`_x

y=sinx², z = x², y = sinz, y`<sub>z</sub> =cosz, z`x =2x

y_x =y`<sub>z</sub> * z`_x = 2x cosz = 2x cosx² .