Производная от функции в данной точке

Рассмотрим две задачи, приводящие к понятию производной.

1. Задача о нахождении скорости движения материальной точки.

Пусть материальная точка при переменном движении в момент времени t₁, находится в положении М₁, а в момент времени t­₂ - в положе­нии М₂. Наша задача определить скорость υ₁ в точке М₁. М₁ М₂ = ∆S - путь, пройденный точкой за время ∆t = t₂ –t₁ тогда средняя скорость на этом участке пути:

Она будет тем ближе к υ, чем меньшее расстоя­ние мы будем рас­сматривать, то если, М₂ → М₁, a ∆t → 0, значит υ_ср → υ₁ т.е. υ ₁ = lim _∆t→0∆S/∆t

2. Задача о нахождении угла на­клона касатель­ной, проведенной к графику функции f(x) в данной точке.

Пусть на графике функции у = f(x) даны две точки М₁(х₁ ;у₁ ) и М₂(х₂;у₂). Требуется опреде­лить tgα₁, где α₁ - угол наклона касательной, проведенной в точке М₁. Проведем секущую М₁М₂, ее угол наклона оп­ределяется из соотно­шения:

tgα₂ = ∆y/∆x

Если точка М₂ → М₁, то ∆х → 0, a tgα₂ → tgα₁, тогда:

tgα₁ =lim_∆x→0∆y/∆x

Таким образом, физическая и геометрическая задача приво­дят к нахождению предела отноше­ния приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю - это и есть производная.

Производной от функции в некоторой точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумен­та, если приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначается производная: f¹_х (х) = у¹_х = lim_∆x→0 ∆y/∆x

Процесс нахождения производной функции, называется дифференцированием. Общий метод нахождения производной согласно определения.

Пример :у = х²-1

1. Если аргумент получил приращение ∆х, то функция полу­чит приращение ∆у:

у + ∆у = (х + ∆х)²-1

2. Находим приращение ∆у:

у + ∆у = х²+2х∆х +∆х²-1

-

у = x² – 1

------------------------------

0 + ∆у = 0 + 2х∆х + ∆х²-0

∆у = 2х∆х + ∆х²

3. Находим по определению производную функции.

y¹_x = lim_∆x→0 ∆y/∆x = lim_∆x→0 (2x∆x + ∆x²)/∆x = lim_∆x→0 (2x + ∆x) = 2x

На практике такой метод не применяется, т.к. требует громоз­дких вычислений. По общему правилу нахождения производных были най­дены производные простейших функций, табличные зна­чения которых приведены ниже:

1. Производная постоянного числа равна нулю.

у = const. у_х' = 0. Пример: у = 2, у_х' = 0.

2. Производная степенной функции.

у = хⁿ, у_х' = nх^n-1. Пример: у = х³, у_х' = Зх^3-1 = Зх².

3. Производная от аргумента равна единице.

у = х, у = х¹, у_х'=1х^1-1; у_х'=1х°=1.

4. Производная показательной функции,

у = а^x; у_х' = а^х In a.

5. Производная экспоненциальной функции.

у = е^x; у_х' = е^x

6. Производная логарифмической функции.

1) у = log_ax; у`<sub>х</sub> = 1/(x ina), 2) у = In х; у`_х = 1/x

7. Производные тригонометрических функций.

у = sinx, у`<sub>х</sub> = cosxy = cosx, у`_х = -sinх

y = tgx, y`<sub>x</sub> = 1/(cos<sup>2</sup>x)y = ctgx, у`_х = -1/sin²x