Определенный интеграл

Задача: Определить площадь S криволинейной трапеции, ограниченную двумя прямыми х = а, х = b, осью абсцисс (у=0) и функ­цией у = f(x). Разобьем интервал [ab] на несколько равных отрез­ков. Площадь указанной фигуры будет равна сумме площадей криволинейных трапе­ций. Приблизительно можно вычислить эту пло­щадь как сумму прямоу­гольников, основанием ко­торых являются приращения аргумента ∆xi, а высотой значения функции в середине отрез­ка приращения аргумента. Обозначим ее f(xi). Аналитически это можно выразить так:

S = f(x₁)∆x₁ +f(x₂)∆x₂+...+ f(x_n)∆x_n = ∑f(xi)∆x_i

Более точно мы определим площадь, если будем разбивать интервал [ab] на большее число отрезков. Тогда ∆x_i → 0. Таким образом, пло­щадь криволинейной трапеции будет равна:

S_жт.Тт = lim_∆x→0∑f(x_i)∆x_i,

где ∑f(x_i)∆x_i - называется интегральной суммой.

Определение: Функция f(x) в некотором интервале от х = а до х = b интегрируема, если существует такое число J, к которому стремится интегральная сумма при ∆х → 0.

Это выражение получило название определен­ного интеграла и обозначается:

J = lim_∆x→0∑f(x_i)∆x_i

где [ab] - область интегрирования, а - нижний предел интегрирования, b - верхний предел интегрирования.

В нашей задаче: S = ∫f (x)dx.

Определенный интеграл находится по правилу Ньютона - Лейбница:

Определенный интеграл от функции равен разности первооб­разной этой функции в подстановке верхнего и нижнего пределов.

∫f(x)dx=F(x)|^b_a = F(b) - F(a).