Задачи на составление дифференциального уравнения

1. Модель однократного введе­ния препарата в орган,

где L - концентрация препарата в органе (услов­ные единицы), В - коэффициент, характеризую­щий скорость переноса препарата из органа в кровь. Пусть за некоторое время dt концентрация препарата в органе изменилось на dL. Это уменьшение концентрации препарата в органе происходит за счет его переноса в кровь. На основании этого условия, составим дифференци­альное уравнение:

dL/dt = - BL, dL = - BLdt, dL/L = - Bdt, ∫dL/L = - B∫dt

lnL = - Bt + lnC, lnL - lnC = -Bt, lnL/C = - Bt, L = Ce^-Bt.

При t = 0, С = L₀, тогда L = L₀ • e^-Bt.

2. Модель непрерыв­ного введения препарата в орган.

L - условная концентрация препарата в органе. В - коэффициент, характеризующий скорость переноса пре­парата из органа в кровь. Q - ско­рость введения препарата в орган. Составим дифференциальное уравнение:

dL/dt = Q -BL, dL (Q – BL) = dt, ∫dL/(Q – BL) = ∫ dt. Обозначим Q - BL = у, dy = -BdL, dL = - dy/B, тогда – 1/B∫dy/y =∫dt, ∫dy/y = - B∫dt

ln y = -Bt + lnC, ln y – ln C = -Bt, ln y/C = -Bt, y = C * e^-Bt.

Подставим вместо у его значение Q - BL: Q - BL = С * e^-Bt.

При t = 0, L = 0, С = Q, тогда Q - BL = Q * e^-Bt, BL = Q - Q * e^-Bt, BL = Q(l - e)^-Bt,

L = Q/B(l - e^-Bt).

3. Терапевтический эффект некоторого лекарст­венного препа­рата сохраняется до его концен­трации, составляющей 10% началь­ной концен­трации в момент приема препарата. Определить сколь­ко раз в сутки следует принимать препарат, чтобы его эффект со­хранялся непрерывно. Известно, что через 1 час 12 минут концен­трация препарата уменьшается в два раза. Скорость усвоения препарата пропорциональна его концентрации.

С - концентрация вещества в любой момент времени.

Со - концентрация в момент времени t = 0.

К - коэффициент пропорциональности,

при t = 72 мин.; C = С₀/2

C₁ = 0,1С

n - ?

1. Определим закон (формулу) по которой происходит разло­жение лекарственного препа­рата:

dC/dt = -KC, dC/C = -Kdt, ∫ dC/C = -K∫dt,

In С = -Kt + In А, где А - произвольная постоян­ная интегри­рования,

lnC - lnA = -Kt, InC/A = -Kt, C=A * e^-Kt

При t = 0, С = С₀, тогда C₀ = A * e^-K0, A = C₀, C = C₀ * e^-Kt.

2. Чтобы найти К, воспользуемся условием С = C₀/2 при t =72

C₀/2 = C₀ * e^-72K, 1/2 = e^-72K, 2 = e^72K, ln2 = 72K, K = 0.693/72, K =0.00962.

3. Находим время, через которое концентрация препарата ста­нет равной: С₁ =0,1 С₀.

0,1С₀ = С_о * e^-0.09625t, 0,1 = е^-0.0096251, ln10 = e^-0.009625', ln 10 = 0,009625t

ln 10 = 2,32, 3 = 0,009625t, t = 2.3/0.009625 = 240 (мин) = 4 часа, тогда n = 24/4 = 6 (раз в сутки).

4. При расследовании убийства температура тела убитого ока­залась равной 20f С, а температура воздуха 150 С. Скорость ох­лаждения пропор­циональна разности температур тела и воздуха. Определить время, прошедшее с момента убийства.

Т_О = 36,6°С

Т_т = 20 °С - температура тела убитого

Т_в = 15 °С

Т - температура тела в любой момент времени

К = 0,0069 мин^-1 - определяется опытным путем

t - ?

dT/dt = -K(T – T_B), ∫dT/(T – T_B) = -K∫dT, ln(T – T_B) = -kT + lnC,

ln((T – T_B)/C) = -Kt, T – T_B = C * e^-Kt, T = T_B + C * e^-Kt.

При t = 0, T = T₀, C = T₀ – T_B.

В момент обнаружения тела убитого Т = Т_т, тогда Т_т = Т_B + (Т_о - Т_B) * e^-Kt, подставляем значения температур: 20 = 15 + 21,6 * e^-Kt,

eKt = 21.6/5, Kt = ln21.6/5, t = ln4.3/.0069 =210 (мин)

Убийство произошло за 3,5 часа до момента расследования.