Дифференциальные уравнения с разделен­ными и разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение типа f(x)dx + f(y)dy=0 называ­ется уравнением с разделенными переменными. Решение определяется интегриро­ванием: ∫f(x)dx + ∫f(y)dy = 0

Пример: xdx + ydy = 0, ydy = -xdx, ∫ydy = - xdx, y²/ = x²/2 + C или y²/2 + x²/2 = C²/2

Дифференциальные уравнения типа f(x)f(y)dx + φ(x)φ(y)dy = 0 называются дифференциаль­ными уравнениями с разделяющи­мися пере­менными.

Их можно привести к уравнениям с разделен­ными перемен­ными, разделив на f (у)φ(х).

тогда (f(x)f(y)dx)/(f(y)φ(x) + φ(x)φ(y)dy)/f(y)φ(x), получим

f(x)/φ + φ(y)f(y)dy

∫f(x)/φ(x)dx + ∫φ(y)/f(y)dy + 0

Пример: ydx - xdy = 0 , разделим на

ydx/xy - xdy/xy = 0, dx/x – dy/y = 0, ∫dy/y = ∫dx/x,

ln у = ln x + lnС, ln у - In С = ln x, lny/C = In x, x/C = x, y = Cx