9.7.1. Числа Фибоначчи

В 1202 г. вышла в свет «Книга абака» (о счетной доске) — труд итальянского математика Леонардо Пизанс-кого, известного больше как Фибоначчи. В ней он решал задачу о кроликах: сколько пар кроликов родится от одной пары кроликов, если каждая пара в месяц дает новую пару, которая со второго месяца тоже становится производителем, и кролики не дохнут? Он получил последовательность, названную в дальнейшем числами Фибоначчи. Ряд чисел Фибоначчи строится таким образом, что каждое последующее число равно сумме двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и т.д. Примеры ритмических вариантов золотого сечения: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123 и т.д.; 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, 157, 254...

И. Кеплер (1571—1630) обнаружил этот ряд при построении модели Солнечной системы. Каждый член ряда чисел Фибоначчи является одновременно аддитивным и мультипликативным, т.е. одновременно причастен к природе арифметического ряда и геометрической прогрессии. Связь аддитивного (сложение) и мультипликативного (умножение) принципов постоянно находится в центре внимания исследователей золотого сечения. Из него видно, что тождество противоположностей есть сущность золотого сечения и в этом его гармонический смысл, его природа.

Ботаниками было обнаружено, что применяемая в ботанике для описания расположения листьев на побеге последовательность дробей 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34, 21/55, 34/89 составлена из чисел ряда Фибоначчи (1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89, 89/144 и т.д.) и так же содержит золотое сечение и означает последовательность видов винтовых осей симметрии. Числитель и знаменатель каждой дроби, начиная с третьей, равны соответственно сумме числителей и знаменателей двух предыдущих дробей. Если присмотреться к деревьям, то можно заметить, что между двумя парами листьев третий находится в точке золотого сечения. В системах типа головок подсолнечника можно заметить два семейства спиралей, раскручивающихся в противоположные стороны и пересекающихся под углами, близкими к прямым. Эти спирали получили название «контактные парастихи». Спирали одного семейства короче и малочисленнее, чем спирали другого семейства. Контактные парастихи также характеризуют, задавая дроби, в числителе которых стоит число данных парастих, а в знаменателе — общее число парастих. У большинства подсолнечников имеется 34 коротких и 55 длинных парастих, идущих в противоположных направлениях. Этой системе парастих соответствует дробь 55/89. Контактным парастихам, встречающимся у растений других видов, можно сопоставить дроби, образующие последовательность типа чисел Фибоначчи: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89 и т.д.

Если же разделить последующее число на предыдущее, то мы снова получим корни золотой пропорции, например, 144:89 = 1,6179775, и тем точнее будет этот результат совпадать с корнями золотой пропорции, чем дальше отстоят члены ряда от начала.

Ученые-экспериментаторы прошлого века, изучавшие расположение цветов, обнаружили в упакованных по логарифмическим спиралям семенах подсолнечника и ромашки, в чешуйках и плодах ананаса и хвойных шишках золотое сечение.