4.2.1. Математические достижения

Арабы существенно расширили античную систему математических знаний. Они заимствовали из Индии и широко использовали десятичную позиционную систему счисления. Она проникла по караванным путям на Ближний Восток в эпоху Сасанидов (224—641), когда Персия, Египет и Индия переживали период культурного взаимодействия. И уже из арифметического трактата аль-Хорезми «Об индийских числах», переведенного в XII в. на латынь, десятичная система стала известна в Европе.

Получила также значительное развитие (свойственная еще Древнему Востоку) традиция создания новых вычислительных приемов и специальных алгоритмов. Так, например, аль-Каши с помощью вписанных и описанных правильных многоугольников вычислил число π до 17 верных знаков.

Развивались методы приближенного извлечения корней. Например, такой известный в древности прием:

где Т— целое, был распространен на случай любого натурального показателя корня:

Известен им был и метод вычисления корней, который ныне называется методом Руффини — Горнера*: если

тo последовательное вычисление знаков корня связано с отысканием разностей

* См.: Рыбников К.А. История математики. М., 1974. С. 99.

Арабские математики умели также суммировать арифметические и геометрические прогрессии, включая нахождение сумм вида:

Не ограничиваясь методами геометрической алгебры, арабские математики смело переходят к операциям над алгебраическими иррациональностями. Они создали единую концепцию действительных чисел путем объединения рациональных чисел и отношений и постепенно стерли грань между рациональными числами и иррациональными. В Европе эту идею восприняли лишь в XVI в.

Арабские математики совершенствовали методы решения уравнений 2-й и 3-й степеней; решали отдельные типы уравнений 4-й степени. В трактате аль-Хорезми «Книга об операциях джебр (восстановление) и кабала (приведение)», по которому европейские ученые в XII в. начали знакомиться с алгеброй, содержались систематические решения уравнений 1-й и 2-й степени следующих типов:

Наиболее значительным достижением арабов в алгебре был «Трактат о доказательствах задач» Омара Хайяма, посвященный в основном кубическим уравнениям. Хайям построил теорию кубических уравнений, основанную на геометрических методах древних. Он классифицировал все кубические уравнения с положительными корнями на 14 видов; каждый вид уравнений он решал соответствующим построением. Хайям пытался найти правило решения кубических уравнений в общем виде, но безуспешно.

Если отдельные зачаточные элементы сферической тригонометрии были известны еще древним грекам (например, Птолемей пользовался понятием «хорда угла»), то в систематическом виде тригонометрия создана арабскими математиками. Уже в работах аль-Баттани содержится значительная часть тригонометрии, включая таблицы значений котангенса для каждого градуса.

Историческая заслуга средневековых арабских математиков состояла и в том, что они начали глубокие исследования по основаниям геометрии. Так, в сочинениях О. Хайяма и Насирэддина ат-Туси предприняты попытки доказать постулат о параллельных, основанные на введении эквивалентных этому постулату допущений (сумма внутренние углов треугольника равна двум прямым и др.).