Вариационные принципы

Всякая наука стремится свести к минимуму число принципов или законов, лежащих в ее основе. Значение вариационных принципов заключается в том, что каждый из них заменяет несколько частных законов. Например, принцип Ферма эквивалентен отражения и преломления света, принцип наименьшего действия - законам механики.

Открытие вариационных принципов имеет многовековую историю. Герон Александрийский (I в.) сформулировал следующий оптический постулат: ”Скажу, что из всех лучей, падающих из данной точки и отражающихся в данную точку, минимальны те, которые отражаются под равными углами”. (Для сферических зеркал постулат Герона не всегда верен).

В XYII веке знаменитый французский математик П.Ферма сформулировал принцип, представляющий обобщение утверждения Герона: ”свет всегда идет по пути, требующему для своего прохождения минимального времени”.

Вариационные принципы механики ведут начало своей истории с конца XVII в.(И. Бернулли) и первой половины XVIII в. - французский ученый П.Мопертюи выдвинул вариационный принцип механики - принцип наименьшего действия. Согласно этому принципу, “путь, которого свет придерживается, является путем, для которого количество действия будет наименьшим”. Под действием Мопертюи понимал произведение скорости на длину пути.

Л.Эйлер, Ж.Лагранж и У.Гамильтон придали понятию действия содержание, используемое и сейчас. Произведение скорости на длину пути можно преобразовать в произведение квадрата скорости на время, заменив путь произведением скорости на время. Если ввести еще постоянный множитель, равный массе тела, деленной на 2, то получим произведение кинетической энергии на время, что и стало определением действия при отсутствии сил. При наличии сил действие равно среднему значению разности между кинетической и потенциальной энергией, умноженному на время движения. Был создан специальный математический аппарат для решения задач, связанных с применением принципа Ферма, или принципа наименьшего действия. Этот аппарат получил название вариационного исчисления, а соответствующие принципы стали называться вариационными принципами.

Понятие действия приобрело в физике особое значение после введения в 1900 г. немецким физиком М.Планком, основателем квантовой физики, кванта действия, равного фундаментальной постоянной h.

Сопоставление принципов Ферма и Мопертюи натолкнуло французского ученого Л. де Бройля в 1920-х гг. на идею о наличии у частиц вещества волновых свойств, что вскоре было подтверждено на опыте.

Э.Шредингер провел глубокий анализ вариационных принципов оптики и механики и ввел уравнение, носящее его имя.

Значение вариационных принципов заключается в том, что, зная действие и пользуясь этими принципами, можно вывести уравнение движения для любой системы.