logo
Шпора

Вынужденные колебания. Резонанс.

Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы). Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по гармоническому закону: f = F0 cos t , где F0 - амплитуда, - круговая частота вынуждающей силы.

При составлении уравнения движения нужно учесть, кроме вынуждающей силы, также те силы, которые действуют в системе при свободных колебаниях, то есть квазиупругую силу и силу сопротивления среды. Тогда уравнение движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом: .

Разделив это уравнение на m и перенеся члены с dx и d2x в левую часть получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка: где— коэффициент затухания,— собственная частота колебаний системы. Решением этого уравнения будет:

Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колеблющегося тела называется резонансом, происходящие при этом колебания - резонансными, а их частота рез — резонансной частотой колебаний.

Расчет дает значение резонансной частоты: рез =

Если очень мало, то p 0 . Подставив рез вместо в (2.13), получим максимальную величину амплитуды колебаний при резонансе:

Арез =.

Чтобы определить резонансную частоту рез, нужно найти максимум функции (2.13) или, что то же самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе. Продифференцировав это выражение по и приравняв нулю, мы получим условие, определяющее рез:

-4(02 - 2) + 8 2 = 0.

Это уравнение имеет три решения: = 0 и .

Решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное должно быть отброшено, как не имеющее физического смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, для резонансной частоты получается одно значение: рез =. Подставив это значение частоты в (2.13), получим выражение для амплитуды при резонансе: Арез =

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (частоты колебаний) показана графически на рисунке: 1 < 2 <3