Затухающие колебания.

Колебания, происходящие в системе при отсутствии внешних сил (но при наличии потерь на трение или излучение), называются свободными. Частота свободных колебаний зависит от свойств системы и интенсивности потерь.

Наличие трения приводит к затухающим колебаниям. Колебания с убывающей амплитудой называются затухающими.

Допустим, что на систему, кроме квазиупругой силы, действуют силы сопротивления среды (трения), тогда второй закон Ньютона имеет вид:

.

Ограничимся рассмотрением малых колебаний, тогда и скорость системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна величине скорости:

,

где r - коэффициент сопротивления среды. Знак " - " обусловлен тем, что F_тр и V имеют противоположные направления.

Подставим (2.8) в (2.7). Тогда или

Обозначим , где — коэффициент затухания, ₀ — круговая частота собственных колебаний. Тогда

Решение этого уравнения существенно зависит от знака разности: ² = ₀² -², где  — круговая частота затухающих колебаний. При условии ₀² -²  0,  является действительной величиной и решение (2.3) будет следующим:

(2.10)

Пунктиром изображено изменение амплитуды: A = A₀e^-t.

Период затухающих колебаний зависит от коэффициента трения и равен:

(2.11)

При незначительном сопротивлении среды (²  ²) период практически равен . С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.

Из формулы, выражающей закон убывания амплитуды колебаний, можно убедиться, что отношение амплитуд, отделенных друг от друга интервалом в один период (Т), остается постоянным в течение всего процесса затухания. Действительно, амплитуды колебаний, отделенные интервалом в один период, выражаются так:

.

Отношение этих амплитуд равно:

. (2.12)

Это отношение называют декрементом затухания.

В качестве меры затухания часто берут величину натурального логарифма этого отношения:

Эта величина носит название логарифмического декремента затухания за период.

При сильном затухании  ² > ₀² из формулы (2.11) следует, что период колебания является мнимой величиной. Движение при этом носит апериодический (непериодический) характер - выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Каким из этих способов приходит система в положение равновесия, зависит от начальных условий.