Уравнение волны.

Рассмотрим поперечную волну. В поперечной волне частицы среды не смещаются в направлении распространения волны. Но колебания каждой последующей частицы среды запаздывают по фазе относительно предыдущих частиц. Вследствие этого гребни и впадины волны, заметные для глаза, перемещаются в направлении распространения волны. Это и отмечается наблюдателем как движение волны.

Под скоростью волны понимается скорость, с которой в среде перемещаются одинаковые фазы колебаний частиц. Эта скорость называется фазовой скоростью волны. Скорость волны зависит от упругих свойств (а также плотности) среды.

Расстояние между двумя ближайшими точками среды, колебания которых происходят в одинаковой фазе, называется длиной волны  или расстояние, на которое распространяются колебания в среде за время, равное одному периоду колебания. Она численно равняется произведению скорости V распространения волны на период Т или отношению скорости распространения волны к частоте  колебания:

 = VT = (1.1)

Поскольку скорость распространения волны зависит от свойств среды, длина волны при переходе волны из одной среды в другую изменяется, хотя частота колебаний остается неизменной.

Кроме , А, или Т колебаний волна характеризуется формой колебания частиц в волне. Так же как и колебания, волны делятся на простые (гармонические) и сложные.

Колебания, возбуждаемые в одной точке, в однородной изотропной среде распространяются от нее равномерно по всем направлениям, такая волна называется сферической. Если источник колебаний имеет значительную плоскую поверхность, то волна от него будет распространяться направленным потоком перпендикулярно поверхности источника; такая волна называется плоской.

Составим уравнение плоской гармонической волны, позволяющее определить смещение S точки Б среды, находящейся на любом расстоянии x от начальной точки А, в направлении распространения волны в любой момент времени. Пусть для начальной точки А уравнение колебания: S_A = A cost.

s_А=Acost, s_Б=Acos((t-x/v))

Точка Б совершает колебание с запаздыванием по фазе на угол ₀ = t₀, соответствующий промежутку времени t, за который волна проходит расстояние x между точками А и Б. Тогда для точки Б уравнение колебания будет:

S_Б = A cos( t - ₀) = A cos( t -  t₀) = A cos (t - t₀)

Подставляя значение t₀ =, где V - скорость распространения волны, получим:

S_Б = .

Заменив в уравнении V =  и  = 2  , тогда:

S_Б = .

Таким образом, смещение S точек среды в упругой волне является функцией двух переменных: времени t и расстояния x точки от центра возбуждения колебаний, то есть S = f₁(x,t).

Если выбрать определенный момент времени (t₁ = const), то уравнение дает зависимость смещения от расстояния x: S_t = f₂(x), то есть величину смещений точек среды вдоль направления x в заданный момент времени t₁. График этой зависимости (как бы моментальный снимок волны) называют графиком волны. Для простой (гармонической) волны график имеет форму синусоиды или косинусоиды.

Зависимость между смещением S точки, ее координатой x и временем t, выраженная в дифференциальной форме называется волновым уравнением.

Для составления уравнения плоской волны находим частные производные второго порядка от смещения S по времени t и координате x:

Таким образом, вторая производная смещения по времени пропорциональна второй производной смещения по координате. Коэффициент пропорциональности равен квадрату скорости распространения волны V. Это и есть дифференциальное уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении оси x со скоростью V (см. 1.4). Оно в наиболее общем виде описывает распространение волнового процесса.

Основные характеристики (амплитуда, период или частота, длина волны и форма колебаний) продольной волны, её уравнение и графику аналогичны поперечной.

Энергетические характеристики волны.

При волновом движении происходит перенос энергии, которая состоит из кинетической и потенциальной энергий колеблющихся частиц среды. Причем потенциальная энергия обусловлена деформацией вещества при взаимном смещении частиц. В отличие от колебаний свободного тела в волне не происходит взаимного перехода кинетической и потенциальной энергии частиц. Мгновенные значения той и другой энергии изменяются одновременно (в фазе) соответственно изменению смещения частиц.

Для мгновенного значения энергии (потенциальной и кинетической) одной частицы можно записать:

,

где S- смещение частицы, - частота колебания частицы, A- амплитуда колебания частицы, V- скорость волнового процесса, в котором участвует частица, m – масса одной частицы.

Из формулы 1.5 следует, что мгновенные значения энергии каждой частицы среды изменяются во времени с удвоенной частотой колебания, причем в каждый момент времени эти значения для различных частиц отличаются. Однако среднее значение энергии за период колебания для всех частиц одинаково и составляет: e_ср =.

Рассчитаем энергию волны для некоторого объема V среды, в которой она распространяется.

Если в единице объема среды содержится N частиц, то  = Nm —плотность среды и среднее значение энергии волны в объеме V будет:

Е_ср =

где — объемная плотность энергии волны.

Величина, численно равная средней энергии Е_ср, переносимой волной в единицу времени t через заданную поверхность S, перпендикулярную направлению распространения волны, называется потоком энергии через эту поверхность:

Ф =

и измеряется в единицах мощности - Вт.

Поток энергии, приходящийся на единицу поверхности, называется плотностью потока энергии:

и измеряется в Вт/м². Плотность потока энергии называют также интенсивностью волны.

В векторной форме:

.

Плотность потока энергии, переносимого волной, можно рассматривать как вектор, совпадающий по направлению с вектором скорости волны.

Вектор , показывающий направление распространения волны и равный потоку энергии, проходящему через единичную площадку, перпендикулярную этому направлению, называютвектором Умова:

.

Вектор Умова для упругой волны зависит от плотности среды, квадрата амплитуды колебания частиц, квадрата частоты колебаний и скорости распространения волны.

Николай Алексеевич Умов (1846-1915) является исследователем потока энергии. Идеи о движении энергии были изложены в его диссертации "Уравнения движения энергии в телах", защищенной им в 1874 году на физико-математическом факультете Московского университета. И только через десять лет к таким же выводам о движении энергии пришел английский физик Пойнтинг. Имя Умова вошло в историю физики.