Модель Вольтера

Пусть в некотором замкнутом районе живут зайцы и рыси. Зайцы питаются растительной пищей, имеющейся всегда в достаточном количестве. Рыси (хищники) питаются только зайцами (жертвами). Обозначим число зайцев в этом районе через N₁, а число рысей через N₂. N₁ и N₂ являются функциями времени.

Так как количество пищи для зайцев не ограничено, мы можем считать, что при отсутствии хищников, их число возрастало бы с течением времени t прямо пропорционально числу имеющихся особей:

где a_i – коэффициент пропорциональности.

Если бы в данном районе жили только рыси, то они бы вымерли из-за отсутствия пищи:

т. е. скорость вымирания пропорциональна числу особей.

Рассмотрим ситуацию, когда в данном районе живут и рыси , и зайцы. Тогда количество зайцев будет уменьшаться пропорционально числу встреч рыси и зайца (b₁N₁N₂):

Количество рысей будет возрастать пропорционально числу встреч рыси и зайца:

Тогда поведение системы «хищник-жертва» будет описываться системой из двух дифференциальных уравнений:

где a₁, a₂, b₁, b₂ – некоторые коэффициенты пропорциональности, определяемые по опытным данным.

Модели функционирования сердечно-сосудистой системы Модель О. Франка.

С позиции механики, точнее, гидродинамики, сердечно-сосудистую систему можно представить как совокупность следующих элементов:

1) ритмически работающий насос (сердце),

2) камера стабилизации давления (аорта и крупные артерии),

3) камера сопротивления (периферические сосуды),

4) камера распределения крови в тканях (капиллярная сеть),

5) камера емкости (венозный сосудистый отрезок).

Одной из первых моделей сердечно-сосудистой системы, построенной на основе таких представлений, является модель О. Франка (1899 г.).

В модели О. Франка система крупных сосудов артериальной части большого круга кровообращения моделируется одной упругой камерой, а система мелких сосудов – жесткой трубкой. Сердце представляется механическим насосом, соединенным с упругой камерой клапаном (рис.1. 6).

Работая в рамках модели О. Франка, можно найти формулу для оценки ударного объема крови - одного из важных параметров состояния сердечно-сосудистой системы. Ударным объемом крови называют объем крови, выбрасываемый левым желудочком сердца в аорту за период систолы.

Согласно модели О. Франка, объем крови, выходящий из сердца со скоростью Q (объемная скорость) за время dt (dt0), равен сумме изменения объема крови в упругой камере (dV) и объема крови, протекающего через жесткую трубку за время dt со скоростью Q₀:

Ударный объем крови по определению равен:

где Т_п – период пульса.

С учетом упругих свойств крупных сосудов и законов движения жидкости по жесткой трубе формула для определения ударного объема крови выглядит следующим образом:

где k – коэффициент пропорциональности, введение которого связано со сделанными упрощениями; p_C, p_Д – систолическое и диастолическое давления;

S₀ – эффективная площадь поперечного сечения крупных артерий; l_а – эффективная длина крупных артерий; T_П, T_Д – период пульса и период диастолы соответственно;  - плотность крови; v – скорость крови.

Хотя формула (1.3) отражает основной характер зависимости ударного объема крови от вышеуказанных параметров, однако, вследствие множества упрощений, сделанных при ее выводе, она не может использоваться для количественных расчетов в медицинской практике. Существуют также трудности в измерениях на практике некоторых параметров, входящих в формулу, что делает ее использование целесообразным только в академических целях.

Гидродинамическая модель движения крови по кровеносному руслу.

Можно моделировать функционирование отдельных элементов сердечно-сосудистой системы. Рассмотрим модель движения крови по кровеносному руслу на основе законов механики. Пусть кровь по кровеносному руслу распространяется как жидкость в жесткой трубе. Кроме того, в продвижении крови по кровеносному руслу участвуют упруго деформирующиеся стенки сосудов.

Представим кровеносный сосуд как трубку с радиусом просвета (поперечного сечения) r. Движение малого объема крови (цилиндра - радиусом r и высотой dx) (рис.1.7), описывается вторым законом Ньютона (первое уравнение системы 1.4). Давление крови внутри сосуда уравновешивается силой упругости стенок сосуда (второе уравнение системы 1.4).

где dm – масса объема крови, v – скорость, dF_дав – сила давления, dF_тр – сила вязкого трения, dF_упр – сила упругости.

Рассмотрим первое из уравнений системы (1.4). Возьмем проекцию этого уравнения на ось x. Учтем, что

где  - плотность крови, S – площадь просвета сосуда (S=r²), dpp=p₂-p₁ – изменение давления на участке dx в связи с малостью этого участка приблизительно равно дифференциалу функции давления.

Для элементарного объема крови сила трения является силой вязкого трения, которую можно рассчитать по формуле Ньютона с использованием формулы Пуазейля:

где  - вязкость крови, Q=S^.v - объемная скорость крови.

Тогда первое уравнение системы (1.4) с учетом введенных величин можно записать в виде:

Рассмотрим второе уравнение системы (1.4).

Плоскостью, проходящей через диаметр, условно разделим рассматриваемый объем крови и прилегающие к нему стенки сосуда на две половины (рис. 1.7). Образовавшееся сечение имеет площадь 2rdx. На эту площадь действует сила давления

dF_дав=p^.2rdx.

Силы давления стремятся разъединить обе половинки сосуда, в результате чего в сосудистой стенке возникают силы, препятствующие этому – упругие силы:

dF_упр=  ^.2hdx,

где - тангенциальное напряжение в стенке сосуда, 2hdx - сумма площадей продольных сечений стенки, к которым приложены упругие силы.

dF_дав=dF_упр,

p2rdx= ^.2hdx,

pr=h  p=h/r.

Учитывая закон Гука (d=Edr/r, где Е – модуль упругости Юнга) и выражение площади поперечного сечения сосуда (S=r², dS=2rdr), найдем дифференциал функции давления:

Разделим левую и правую части этого уравнения на dt и учтем, что dS= -dQ dt/dx:

Тогда система из системы уравнений (1.4) получим систему уравнений (1.5):

(1.5)

Система уравнений (1.5) описывает движение крови по кровеносному сосуду в рамках механического подхода. Система состоит из двух уравнений и содержит две неизвестные (Q и р), поэтому разрешима. Решение системы уравнений (1.5) выходит за рамки нашего курса, поэтому здесь приведем лишь конечные формулы, являющиеся решением данной системы уравнений.

Одно из решений системы (функция давления) представляет собой уравнение затухающей волны (пульсовая волна):

где А₀ – максимальная амплитуда давления крови,  - частота колебаний давления крови.

Коэффициент  показывает, как быстро затухает колебание по длине сосуда. Коэффициент  связан со скоростью распространения волны. Оба эти коэффициента выражаются через величины, входящие в уравнения системы (1.5).

Модель, представляющая сердечно-сосудистую систему как электрическую цепь. Общая модель

При рассмотрении динамических моделей сложных систем прослеживается закономерность поведения сложных систем, относящихся к разным областям науки: механике, физике, химии, биологии, социальным наукам. Эта закономерность вытекает из внутренней взаимосвязи элементов, составляющих сложную систему. Существуют науки, изучающие наиболее общие законы поведения и управления сложными системами: кибернетика, синергетика, диалектика и др. Нас интересует данный аспект в качестве еще одной разновидности метода моделирования. Часто можно провести аналогию между процессами явно не относящимися к одной области науки. При этом взгляд на изучаемую систему под новым углом зрения часто помогает найти новые характеристики системы, закономерности.

Рассмотрим систему уравнений (1.5), описывающую движение крови по кровеносному руслу в рамках механического подхода. Введем новые постоянные

Строго говоря, параметры , Е, S и r не постоянны, они изменяются, например, при изменении давления в сосуде. Но при определенных условиях (например, при высоких скоростях крови в аорте), можно считать эти параметры постоянными.

Тогда систему уравнений (1.5) можно записать в виде:

Такой же вид имеют уравнения, известные в электротехнике и описывающие изменения электрического потенциала () вдоль электрической цепи (∂/∂x) и во времени (∂/∂t). Данная электрическая цепь содержит: резистор с омическим сопротивлением R, конденсатор, емкости C, и катушку индуктивности с индуктивностью L.

Можно провести аналогию между движением крови по кровеносному руслу и протеканием электрического тока по электрической цепи.

Объемную скорость крови можно сравнить с силой электрического тока. Перепад давлений вызывает ток крови, а разность потенциалов – электрический ток. Эластичность стенок кровеносного сосуда делает участок сосуда переменной емкостью для крови. В случае электрической цепи емкостью для электрических зарядов является конденсатор. Вязкостное сопротивление движению крови по кровеносному руслу можно сравнить с омическим сопротивлением электрической цепи. И, наконец, инерционные свойства крови лежат в основе инерционной индуктивности крови, подобно тому, как электромагнитная индукция электронов лежит в основе индуктивности катушки индуктивности.

В рамках данной аналогии можно построить электрическую модель сердечно-сосудистой системы (рис. 1.8.).

Аналогом сердца в этой модели является источник несинусоидального переменного электрического напряжения (U). Сердечный клапан представляется выпрямителем тока (В). Как уже рассматривалось, упругие свойства крупных сосудов моделируются конденсатором (емкости С). А вязкостные свойства периферических сосудов – резистором (сопротивления R).