Затухающие колебания.

Дифференциальное уравнение затухающего колебания. Уравнение для смещения. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания.

Колебания, происходящие в системе при отсутствии внешних сил (но при наличии потерь на трение или излучение), называются свободными. Частота свободных колебаний зависит от свойств системы и интенсивности потерь.

Наличие трения приводит к затухающим колебаниям. Колебания с убывающей амплитудой называются затухающими.

Допустим, что на систему, кроме квазиупругой силы, действуют силы сопротивления среды (трения), тогда второй закон Ньютона имеет вид:

Ограничимся рассмотрением малых колебаний, тогда и скорость системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна величине скорости:

(2)

где r - коэффициент сопротивления среды. Знак "-" обусловлен тем, что F_тр и V имеют противоположные направления. Подставим (2) в (1). Тогда

или Обозначим, где - коэффициент затухания, ₀ - круговая частота собственных колебаний. Тогда

(3)

Решение этого уравнения существенно зависит от знака разности:

² =₀² -²

где  - круговая частота затухающих колебаний. При условии ₀² - ² 0

 является действительной величиной и решение (3) будет следующим:

График этой функции дан на рисунке.

Пунктиром изображено изменение амплитуды: A =  A₀ e^-t

Период затухающих колебаний зависит от коэффициента трения и равен (4)

При незначительном сопротивлении среды ( ²  ² ) период практически равен . С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.

Из формулы, выражающей закон убывания амплитуды колебаний, можно убедиться, что отношение амплитуд, отделенных друг от друга интервалом в один период (Т), остается постоянным в течение всего процесса затухания. Действительно, амплитуды колебаний, отделенных интервалом в один период выражаются так:

Отношение этих амплитуд равно:

Это отношение называют декрементом затухания.

В качестве меры затухания часто берут величину натурального логарифма этого отношения:

Эта величина носит название логарифмического декремента затухания за период.

При сильном затухании ² > ₀² из формулы (4) следует, что период колебания является мнимой величиной. Движение при этом носит апериодический (непериодический) характер - выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. На рисунке показано два возможных способа возвращения системы к положению равновесия при апериодическом движении.

Каким из этих способов приходит система в положение равновесия, зависит от начальных условий.

Вынужденные колебания. Резонанс.

Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы). Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по гармоническому закону: f = F₀ cos t ,

где F₀ - амплитуда,  - круговая частота вынуждающей силы.

При составлении уравнения движения нужно учесть, кроме вынуждающей силы, также те силы, которые действуют в системе при свободных колебаниях, то есть квазиупругую силу и силу сопротивления среды. Тогда уравнение движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом:

.

Разделив это уравнение на m и перенеся члены с dx и d²x в левую часть получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

где - коэффициент затухания,- собственная частота колебаний системы. Решением этого уравнения будет:

где (1)

Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колеблющегося тела называется резонансом, происходящие при этом колебания - резонансными, а их частота  _рез - резонансной частотой колебаний.

Расчет дает значение резонансной частоты:

_рез =

Если  очень мало, то _p  ₀ . Подставив _рез вместо  в (1), получим максимальную величину амплитуды колебаний при резонансе:

А_рез =.

Чтобы определить резонансную частоту _рез , нужно найти максимум функции (1) или, что то же самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе. Продифференцировав это выражение по  и приравняв нулю, мы получим условие, определяющее _рез :

-4(₀² -²)  + 8²  = 0.

Это уравнение имеет три решения:  = 0 и .

Решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное должно быть отброшено, как не имеющее физического смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, для резонансной частоты получается одно значение: _рез =.Подставив это значение частоты в (1), получим выражение для амплитуды при резонансе :

а_рез =

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (частоты колебаний) показана графически на рисунке:

₁ < ₂ <₃

Это резонансные кривые.

Автоколебания.

Системы автоматически регулирующие подачу энергии от внешнего источника, называются автоколебательными, а происходящие в них незатухающие периодические процессы - автоколебаниями.

Такими системами являются часы, электрический звонок, ламповый генератор электромагнитных колебаний и т.д.

МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ.

Колебательная система может отдавать энергию во внутреннюю среду. Эта передача энергии становится возможной благодаря тому, что частицы среды сами представляют собой миниатюрные колебательные системы. Молекулы среды связаны друг с другом силами, законы которых в известных границах подобны законам упругих сил; если одна из частиц окажется выведенной из положения равновесия, то силы, действующие на нее со стороны соседних частиц, заставляют ее вновь вернуться к устойчивому положению. Вместе с тем, по закону равенства действия и противодействия, соседние частицы также подвергнутся влиянию смещающих сил и в свою очередь будут выведены из устойчивого положения. Таким образом, каждое возмущение, однажды возникнув в определенном участке среды, будет постепенно распространяться, захватывая частицы, все дальше и дальше отстоящие от места начального возмущения.

Колебательный процесс благодаря взаимодействию частиц будет распространяться в среде с некоторой конечной скоростью.

Процесс распространения колебаний в среде называется волновым движением или просто волной.

Для нашего случая это будет упругая или механическая волна.

Различают продольные и поперечные волны. Вид волн, распространяющихся в среде, существенно зависит от упругих свойств среды.

Волна, распространяющаяся в том же направлении, в котором происходят колебания частиц среды, называется продольной волной.

Продольные волны образуются в телах, обладающих упругостью объема, то есть противодействующих деформации объемного сжатия. Это свойственно всем телам, поэтому они образуются в любых средах: твердых, жидких, газообразных. К продольным волнам, в частности, относятся звуковые и ультразвуковые.

Волна, в которой колебательное движение совершается перпендикулярно к направлению распространения колебаний, называется поперечной.

Поперечные упругие волны образуются только в твердых телах, которые обладают упругостью формы, т.е. противодействуют деформации сдвига (например, сейсмические волны в земной коре при землетрясениях; волны, бегущие вдоль натянутой струны; крутильные волны, вызываемые попеременным закручиванием и раскручиванием конца длинного стержня).

Продольные и поперечные колебания частиц волнонесущей среды представляют собой частные случаи волнового процесса. Существуют и другие волны, в которых колебательные движения складываются из одновременных продольных и поперечных смещений. Это волны вздутия, поверхностные.