Тема 3.4. Динамический хаос - фундаментальное свойство реальности

И.Пригожин: В течение всей моей научной карьеры меня чрезвычайно интересовала проблема времени, точнее, то, что я предпочитаю называть парадоксом времени.

С одной стороны, различие между прошлым и будущим весьма важно для нашего существования. Это различие играет важную роль в космологии, химии и биологии. С другой стороны, фундаментальные законы классической и квантовой механики инвариантны относительно обращения времени. Прошлое и будущее играют одну и ту же роль.

Я пришел к убеждению, что следует обобщить динамику так, чтобы она включала в себя явления, отвечающие нарушению временной симметрии. В реализации этой программы фундаментальная роль принадлежит работам по неустойчивым динамическим системам, начатым Пуанкаре и продолженным блестящей русской школой. Вопрос сводится к тому, чтобы показать, какие законы управляют хаотическими системами.

Введение хаоса приводит к тому, что можно назвать третьей формой законов природы.

Первая форма этих законов оперирует с траекториями в классической механике и с волновыми функциями в квантовой механике.

Вторая форма - это статистическая формулировка законов природы (работы Гиббса и Эйнштейна). Но предложенная этими авторами статистическая формулировка оставалась приводимой или сводимой: в качестве частного случая она применима к траекториям и волновым функциям.

Новая формулировка не позволяет отойти от статистического уровня описания. Законы хаоса носят вероятностный, но не достоверный характер.

Законы, управляющие поведением устойчивых систем, детерминистичны и обратимы во времени. Наоборот, законы, описывающие хаотические системы, соответствуют вероятностям и включают в себя необратимость.

Необратимость возникает в результате неустойчивости “хаоса”.

(И.Пригожин. Природа, 1993, 12) Ю.Данилов (там же): Основной тезис Пригожина состоит в том, что необратимость во времени порождается хаосом на фундаментальном уровне. Под этим понимается следующее. В ньютоновой механике эволюция физической системы во времени описывается в терминах отдельных траекторий, в квантовой - в терминах отдельных волновых функций. Уравнения движения (Ньютона - в классической механике и Шредингера - в квантовой) оказываются обратимыми во времени: прошлое при таком описании равноправно с будущим. Несоответствие между между наблюдаемой необратимостью физических процессов (однонаправленностью времени) и обратимым характером уравнений движения Пригожин называет парадоксом времени.

Дж.Гиббс и А.Эйнштейн предложили перейти от описания в терминах траекторий к вероятностному описанию совокупностей, или ансамблей, траекторий. Однако парадокс времени оставался нерешенным, так как описание в терминах ансамблей допускало сведение к описанию в терминах отдельных траекторий.

Решение парадокса времени Пригожин видит во введении нового понимания в терминах ансамблей, отличающегося несводимостью к отдельным траекториям и волновым функциям.

Гармония в хаосе

...Природа даже в состоянии хаоса может

действовать только правильно и слаженно.

И.Кант

Наука всегда занималась в основном закономерной составляющей бытия. Турбулентное движение жидкости относили к царству полной неразберихи -хаосу. В древнегреческой мифологии хаосом называли зияющую бездну, наполненную туманом и мраком, из которых произошло все сущее. В Средние века даже возникла хаосология - ветвь богословия, выясняющая, что было до того, как Бог сотворил мир.

И вот оказалось, что в явлениях, на первый взгляд совершенно беспорядочных, есть своя необычная структура. Начала формироваться научная хаосология.

В математике фигуры, одинаковые по форме, но различающиеся размерами, называются подобными.

Похожесть процесса на самого себя при изменении масштаба называют самоподобием, масштабной инвариантностью, скейлингом (scale - масштаб, размер).

В последние десятилетия самоподобие начинают открывать всюду: в линиях берега, разряда молнии и трещин; поверхностях гор, облаков и кочанов цветной капусты; ветвлении деревьев и кровеносных сосудов.

В чем суть самоподобия? Общая картина не меняется или не зависит от масштаба. Объекты, обладающие таким свойством, американский математик Б.Мандельброт в 1975 г. предложил называть “фракталами”.

Фракталы обнаруживают в тех процессах и явлениях, о которых мы привыкли думать как о беспорядочных, хаотичных, потому что в них участвует множество случайных факторов. Поэтому говорят, что вероятностный, или стохастический хаос носит фрактальный характер. Там, где господствует случай, формы фрактальны. Это имеет не только умозрительный интерес: например, в Голливуде декорации, имитирующие горный пейзаж, разрабатывает компьютер на основе алгоритма, учитывающего фрактальность горной поверхности. В итоге на экране получается картинка, очень похожая на настоящие горы.

Фракталы - объекты с сильно извилистой, изрезанной или пересеченной границей. Обычные меры длины, площади и объема к фракталам неприменимы. Геометрию фракталов принято описывать другими характеристиками, например, размерностью Хаусдорфа-Безикевича. Для нефрактальных (гладких) объектов эта размерность совпадает с обычной (топологической) размерностью (равной 0 для точки, 1 - для линии, 2 - для плоской фигуры, 3 - для тела) и принимает целочисленные значения, но для фрактальных объектов размерность принимает дробные значения. Например, для очень извилистой линии она может бытьравна 1,03 (уже не линия, но еще не плоская фигура).

Мир бестелесный, слышный, но незримый,

Теперь роится в хаосе ночном...

Ф.Тютчев

Конечно, в природе самоподобие простирается лишь до какого-то предела - рано или поздно с изменением размеров происходит качественный скачок. Например, разглядывая кровеносные сосуды во все более сильный микроскоп, мы в конце концов увидим отдельные клетки. Но мысленно можно рассмотреть случай, когда скейлинг продолжается до бесконечности: примером может служить “ковер Серпинского”.

О, бурь заснувших не буди -

Под ними хаос шевелится!...

Ф.Тютчев

Успехи классической физики основывались на том, что многие явления, например, движение планет, описываются линейными дифференциальными уравнениями, для которых можно найти общее решение. Нужно только подставить в них начальные условия (координаты точки, из которой движение начиналось), и траектория полностью предсказывалась. Конечно, начальные условия желательно знать поточнее, но малые погрешности не страшны, так приведут к малым же отклонениям в решении.

Когда научились решать простые нелинейные уравнения (а большинству реальных процессов соответствуют именно они), то выяснили, что определяющее влияние начальных условий есть уже не исключение, а правило. Такой вывод сделал еще сто лет назад А.Пуанкаре, когда рассмотрел движение трех тел, связанных взаимным тяготением. И все эти решения были в определенном смысле просты: например тяготеющие тела или убегут в бесконечность, или остановятся, или вернутся в исходные положения, и все начнется сначала - траектории будут циклическими (состояние, к которому система в конце концов приходит, называют “аттрактором”).

Но когда с появлением ЭВМ стали изучать более сложные нелинейные уравнения, оказалось, что решения могут быть значительно сложнее: возможно, что траектории никогда себя не повторяют - они запутанны и нерегулярны (в этих случаях говорят о “странном аттракторе”).

Так, в 1963 г. американский метеоролог Э.Лоренц, занимаясь задачей о тепловой конвекции, показал, что ее решение выглядит как два сцепленных мотка, каждый из которых состоит из пучка траекторий. Начав движение из некоторой точки левого мотка, система сделает какое-то количество оборотов по этому мотку, затем перейдет на правый моток, совершит некоторое количество оборотов там, потом вернется обратно и так далее.

Получается, что, проходя место соединения двух мотков, она каждый раз как бы делает выбор - продолжить ли свой путь по тому же мотку, или перейти на другой.

Чтобы узнать результаты этого выбора, нужно указать координаты исходной точки. И вот здесь исследователя подстерегал сюрприз: оказалось, что траекторию нельзя предсказать в принципе, потому что для этого необходимо определить эти координаты с бесконечно большой точностью.

Иначе говоря, каждая начальная точка задает свою неповторимую последовательность переходов и малейшая неточность в ее задании изменит выбор пути, так что поведение системы станет совершенно иным. Что еще поразительно: странные аттракторы устроены наподобие ковра Серпинского, т.е. фрактальны.

Может случиться, что с изменением некоторого параметра, например скорости течения жидкости, развилки будут возникать все чаще, а промежутки предсказуемого движения между ними - сужаться. В конце концов, траектории станут совершенно “неисповедимыми” - хаотичными. Именно так объясняется турбулентность, и она тоже связана с фракталами.

Все это углубило наше понимание и атмосферных явлений, и “причуд” плазмы в токамаках. Но значение этих идей гораздо шире: они меняют представления об эволюции космоса и жизни. У Р.Брэдбери есть рассказ “И грянул гром” о том, как гибель одной-единственной бабочки повлияла на историю общества. Сейчас уже всерьез говорят, что взмах крыльев бабочки где-нибудь в Австралии может вызвать ураган в Европе - таково свойство нелинейных систем непредсказуемо изменять свое поведение в ответ на микроскопический сдвиг начальных условий.

Любопытно, что этот факт послужил основой для новой теологии. Роль Бога некоторые теперь усматривают во внесении в мир неуловимых управляющих воздействий. А так как воздействия эти могут быть, в принципе, сколь угодно слабыми - надо только знать, где и как их приложить, - то и человек своим внутренним усилием, молитвой, способен склонить ход вещей в нужную сторону.

Итак, хаос возникает и там, где вообще никакой случайности как будто нет - в области динамических систем, описываемых полностью детерминированными уравнениями. Создается теория динамического, или детерминированного, хаоса.

Арсенал нелинейного мышления включает неравновесную термодинамику, синергетику, теорию катастроф.

Наверное, в структуре хаоса, возникающего практически везде, проявляется еще не до конца понятое единство природы - ее простота, заключенная в сложном, и сложность, таящаяся в простом.

Как генетический код сам по себе еще не определяет возникновение из клетки целого организма (влияют и исходная клетка, и внешняя среда), так и основные уравнения не задают однозначно свойства и судьбу мира -важны начальные условия и та цепь выборов, которые уже сделаны и делаются постоянно.

Все это перекликается с идеями И.Пригожина: природа не только существует, но и становится, несет в себе свою историю; в ней не только необходимость, но и выбор, свобода, творчество - “миротворение”, по словам Н.Бердяева, продолжается. Так что физическая реальность и наш духовный мир имеют общие черты.

Этот междисциплинарный подход изменяет облик, которая делается менее сухой, более человечной. Она охватывает уже не один лишь логос, но и хаос - стихийность, непредсказуемость, что, видимо, близко самой сути природы, ибо, как гласит французская пословица, “если бы в мире господствовал разум, в нем бы ничего не происходило”.