5.Математические знания.

В рассматриваемую эпоху математические знания развивались в сле-дующих основных направлениях.

Во-первых, расширяются пределы считаемых предметов, по-являются словесные обозначения для чисел свыше 100 единиц - с на-чала до 1000, а затем вплоть до 10 000.

Во-вторых, закладываются предпосылки позиционной систе-мы счисления. Они состояли в совершенствовании умения считать не единицами, а сразу некоторым набором единиц (4, 5, чаще всего 10). Когда нужно было пересчитать большое количество одинаковых предметов (например, стадо скота), применялся так называемый групповой счет. Такой счет вело несколько человек: один -- вел счет единицам, второй -- десяткам, третий -- сотням (наблюдения Н.Н. Миклухо-Маклая¹). Развитие хозяйства, торговли требовало не просто умения считать, но и умения сохранять на длительное время или передавать на расстояния результаты счета (очень часто -- боль-шие числа). Для этого применялись известные еще с древнейших времен бирки, шнуры, нарезки или узлы, на которых уже обозначаются не только единицы, но и группы единиц (по 4,5,10,20 единиц). По сути, формировался прообраз различных систем счисления.

В-третьих, формируются простейшие геометрические аб-стракции -- прямой линии, угла, объема и др. Развитие земледелия, отношений земельной собственности требуют умения измерять рас-стояния, площади земельных участков (отсюда и происхождение слова «геометрия» -- от древнегреческого «землемерие»). Развитие строительного дела, гончарного производства, распределение уро-жая зерновых и проч. требовало умения определять объемы Тел. В строительстве было необходимо уметь проводить прямые горизон-тальные и вертикальные линии, строить прямые углы и т.д. Натяну-тая веревка служила прообразом представления о геометрической прямой линии. Одним из важнейших свидетельств освоения челове-ком геометрических абстракций является зафиксированный археологами бурный всплеск использования геометрических орнаментов на сосудах, ткани, одежде. Геометрическая отвлеченность начинает превалировать в художественной изобразительной деятельности, передаче изображений животных, растений, человека.

На Древнем Востоке математика получила особое развитие в Месопотамии. Математика развивалась как средство решения повседневных практических задач, возникавших в царских храмовых хозяйствах (землемерие, вычисление объемов строительных и земля-ных работ, распределение продуктов между большим числом людей и др.). Найдено более сотни клинописных математических текстов, которые относятся к эпохе Древневавилонского царства (1894-1595 гг. до н.э.). Их расшифровка (Варден Ван Дер Б.Л. и др.) показа-ла, что в то время уже были освоены операции умножения, определения

обратных величин, квадратов и кубов чисел, существовали таб-лицы с типичными задачами на вычисление, которые заучивали наизусть. Математики Древнего Вавилона уже оперировали позиционной системой счисления (в которой цифра имеет разное значение в зависимости от занимаемого ею места в составе числа). Система счисления была шестидесятеричной. Жителям Древнего Вавилона были известны приближенные значения отношения диаго-нали квадрата к его стороне (v2 они считали равным приблизительно 1,24; число р-- приблизительно равным 3,125).

Вавилонская математика поднялась до алгебраического уровня, оперируя не числом конкретных предметов (людей, скота, камней и проч.), а числом вообще, числом как абстракцией. При этом числа рассматривались как некий символ иной, высшей реальности (наряду^! с множеством других символов такой высшей реальности). Но у древ-них вавилонян, по-видимому, еще не было свойственного древнегре-ческой математике представления о Числах как некоторой абстрактной реальности, находящейся в особой связи с материальным миром. Поэтому у них не вызывали мировоззренческих проблем вопросы о природе несоизмеримых отношений и иррациональных чисел.

На современном математическом языке те типовые задачи, которые могли решать вавилоняне, выглядят следующим образом:

Алгебра и арифметика:

уравнения с одним неизвестным:

АХ=В; Х²=А; Х²±АХ=В; Х³=А; Х²(Х+1)=А;

системы уравнений с двумя неизвестными

ХY=B, X±Y=A;

Х²+Y²=B, X±Y=A;

им были известны следующие формулы:

(А+В)²=А²+2АВ+В²

(А+В)(А-В)=А²-В²

1+2+4+…+2ⁿ=2ⁿ+(2ⁿ-1)

1²+2²+3²+…+N²=(?+?N)(1+2+3+…+N)

и суммирование арифметических прогрессии.

Геометрия:

пропорциональность для параллельных прямых;

теорема Пифагора;

площадь треугольника и трапеции;

площадь круга ? 3R²;

длина окружности ?6р;

объем призмы и цилиндра;

объем усеченного конуса они считали по неправильной формуле:

Ѕ(3R² + 3r²) (на самом деле он равен ?(R² - r²)).

Объем усеченной пирамиды с высотой H, квадратным верхним (В) и нижним (А) основаниями они определяли по неправильной формуле: Ѕ(А² + B²); на самом деле он равен ? (А² + АВ + B²)Н.

Основная общая особенность и общий исторический недостаток древневосточной математики -- ее преимущественно рецептурный, алгоритмический, вычислительный характер. Математики Древнего Востока даже не пытались доказывать истинность тех вычислитель-ных формул, которые они использовали для решения конкретных практических задач. Все такие формулы строились в виде предписа-ний: «делай так-то и так-то». Потому и обучение математике состояло в механическом зазубривании и заучивании веками не изменявшихся способов решения типовых задач. Идеи математического доказатель-ства в древневосточной математике еще не было.

Вместе с тем у древних вавилонян уже складывались отдельные предпосылки становления математического доказательства. Они со-стояли в процедуре сведения сложных математических задач к про-шлым (типовым) задачам, а также в таком подборе задач, который позволял осуществлять проверку правильности решения.